Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  disjdifprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjdifprg 29514
Description: A trivial partition into a subset and its complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjdifprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem disjdifprg
StepHypRef Expression
1 disjxsn 4678 . . . . . 6 Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥
2 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ∅ = ∅)
4 elex 3243 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
5 0ex 4823 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ V
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑊 → ∅ ∈ V)
74, 6, 6preqsnd 4423 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑊 → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → ({𝐵, ∅} = {∅} ↔ (𝐵 = ∅ ∧ ∅ = ∅)))
92, 3, 8mpbir2and 977 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → {𝐵, ∅} = {∅})
109disjeq1d 4660 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥Disj 𝑥 ∈ {∅}𝑥))
111, 10mpbiri 248 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
12 in0 4001 . . . . . 6 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
134adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
145a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
15 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
17 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
1816, 17disjprg 4680 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
1913, 14, 15, 18syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥 ↔ (𝐵 ∩ ∅) = ∅))
2012, 19mpbiri 248 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2111, 20pm2.61dane 2910 . . . 4 (𝐵𝑊Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
2221ad2antlr 763 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥)
23 difeq2 3755 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = (𝐵 ∖ ∅))
24 dif0 3983 . . . . . . 7 (𝐵 ∖ ∅) = 𝐵
2523, 24syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) = 𝐵)
26 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2725, 26preq12d 4308 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {(𝐵𝐴), 𝐴} = {𝐵, ∅})
2827disjeq1d 4660 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
2928adantl 481 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥Disj 𝑥 ∈ {𝐵, ∅}𝑥))
3022, 29mpbird 247 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
31 incom 3838 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
32 disjdif 4073 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
3331, 32eqtr3i 2675 . . 3 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
34 difexg 4841 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵𝐴) ∈ V)
3534ad2antlr 763 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ∈ V)
36 elex 3243 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
3736ad2antrr 762 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ V)
38 ssid 3657 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴)
39 ssdifeq0 4084 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 = ∅)
4039notbii 309 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
41 nssne2 3695 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ (𝐵𝐴)) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4240, 41sylan2br 492 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ⊆ (𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4338, 42mpan 706 . . . . 5 𝐴 = ∅ → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
4443adantl 481 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (𝐵𝐴) ≠ 𝐴)
45 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵𝐴) → 𝑥 = (𝐵𝐴))
46 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
4745, 46disjprg 4680 . . . 4 (((𝐵𝐴) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐵𝐴) ≠ 𝐴) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4835, 37, 44, 47syl3anc 1366 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥 ↔ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅))
4933, 48mpbiri 248 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
5030, 49pm2.61dan 849 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Disj 𝑥 ∈ {(𝐵𝐴), 𝐴}𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  Disj wdisj 4652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-sn 4211  df-pr 4213  df-disj 4653
This theorem is referenced by:  disjdifprg2  29515  measssd  30406
  Copyright terms: Public domain W3C validator