Theorem dis1stc 21504

Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis1stc	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5057	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
2		distop 21001	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4		tgtop 20979	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6		topbas 20978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8		snfi 8203	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9		pwfi 8426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
10	8, 9	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11		isfinite 8722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
12	10, 11	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13		sdomdom 8149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15		2ndci 21453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
16	7, 14, 15	mp2an 710	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
17	5, 16	eqeltrri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18		2ndc1stc 21456	. . . . 5 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
20	19	rgenw 3062	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21		dislly 21502	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
22	20, 21	mpbiri 248	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23		lly1stc 21501	. 2 ⊢ Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
24	22, 23	syl6eleq 2849	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  ωcom 7230   ≼ cdom 8119   ≺ csdm 8120  Fincfn 8121  topGenctg 16300  Topctop 20900  TopBasesctb 20951  1^st𝜔c1stc 21442  2^nd𝜔c2ndc 21443  Locally clly 21469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-card 8955  df-acn 8958  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-1stc 21444  df-2ndc 21445  df-lly 21471

This theorem is referenced by: (None)