MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dis1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dis1stc 21504
Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dis1stc (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5057 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2 distop 21001 . . . . . . . 8 ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4 tgtop 20979 . . . . . . 7 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6 topbas 20978 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
73, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8 snfi 8203 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ Fin
9 pwfi 8426 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
108, 9mpbi 220 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11 isfinite 8722 . . . . . . . . 9 (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
1210, 11mpbi 220 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13 sdomdom 8149 . . . . . . . 8 (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15 2ndci 21453 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
167, 14, 15mp2an 710 . . . . . 6 (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
175, 16eqeltrri 2836 . . . . 5 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18 2ndc1stc 21456 . . . . 5 (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
2019rgenw 3062 . . 3 𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21 dislly 21502 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
2220, 21mpbiri 248 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23 lly1stc 21501 . 2 Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
2422, 23syl6eleq 2849 1 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  ωcom 7230  cdom 8119  csdm 8120  Fincfn 8121  topGenctg 16300  Topctop 20900  TopBasesctb 20951  1st𝜔c1stc 21442  2nd𝜔c2ndc 21443  Locally clly 21469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-card 8955  df-acn 8958  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-1stc 21444  df-2ndc 21445  df-lly 21471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator