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Theorem dirkertrigeq 40813
Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeq.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
dirkertrigeq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkertrigeq.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkertrigeq.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeq (𝜑𝐹 = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁,𝑠   𝜑,𝑘,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛,𝑠)   𝐹(𝑘,𝑛,𝑠)   𝐻(𝑘,𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkertrigeq
StepHypRef Expression
1 dirkertrigeq.f . . 3 𝐹 = (𝐷𝑁)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (𝐷𝑁))
3 dirkertrigeq.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dirkertrigeq.d . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
54dirkerval 40803 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
7 dirkertrigeq.h . . 3 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
8 2cnd 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93nncnd 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 10244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 peano2cn 10392 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
13 picn 24402 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℂ)
15 2ne0 11297 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17 pire 24401 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
18 pipos 24403 . . . . . . . . . . 11 0 < π
1917, 18gt0ne0ii 10748 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ≠ 0)
2112, 8, 14, 16, 20divdiv1d 11016 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
2221eqcomd 2758 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
2322ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
24 iftrue 4228 . . . . . . 7 ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
2524adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
26 elfzelz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2726zcnd 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
29 recn 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
31 2cn 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
3231, 13mulcli 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ∈ ℂ)
3431, 13, 15, 19mulne0i 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · π) ≠ 0)
3628, 30, 33, 35divassd 11020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) = (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))))
3726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
38 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
39 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
40 2rp 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ+
41 pirp 24404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ+
42 rpmulcl 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
4340, 41, 42mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) ∈ ℝ+
44 mod0 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4539, 43, 44sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4638, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4837, 47zmulcld 11672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑠 / (2 · π))) ∈ ℤ)
4936, 48eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ)
5027adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
53 coseq1 24465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5554adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1 ↔ ((𝑘 · 𝑠) / (2 · π)) ∈ ℤ))
5649, 55mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5756ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5857adantll 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 1)
5958sumeq2d 14623 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1)
60 fzfid 12958 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
61 1cnd 10240 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
62 fsumconst 14713 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
6360, 61, 62syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = ((♯‘(1...𝑁)) · 1))
643nnnn0d 11535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
65 hashfz1 13320 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
6766oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = (𝑁 · 1))
689mulid1d 10241 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6967, 68eqtrd 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
7069ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((♯‘(1...𝑁)) · 1) = 𝑁)
7159, 63, 703eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = 𝑁)
7271oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + 𝑁))
739div1d 10977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / 1) = 𝑁)
7473eqcomd 2758 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (𝑁 / 1))
7574oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = ((1 / 2) + (𝑁 / 1)))
76 1cnd 10240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
77 ax-1ne0 10189 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≠ 0)
7976, 8, 9, 76, 16, 78divadddivd 11029 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2) + (𝑁 / 1)) = (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)))
8076, 76mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 1) ∈ ℂ)
819, 8mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
8280, 81addcomd 10422 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((𝑁 · 2) + (1 · 1)))
839, 8mulcomd 10245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
8476mulid1d 10241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 · 1) = 1)
8583, 84oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + (1 · 1)) = ((2 · 𝑁) + 1))
8682, 85eqtrd 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 · 1) + (𝑁 · 2)) = ((2 · 𝑁) + 1))
878mulid1d 10241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 1) = 2)
8886, 87oveq12d 6823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1 · 1) + (𝑁 · 2)) / (2 · 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
8975, 79, 883eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9089ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + 𝑁) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9172, 90eqtrd 2786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (((2 · 𝑁) + 1) / 2))
9291oveq1d 6820 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
9323, 25, 923eqtr4rd 2797 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
94 iffalse 4231 . . . . . . 7 (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9594adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
9719a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
9829, 96, 97divcan1d 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) · π) = 𝑠)
9998eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
10099ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = ((𝑠 / π) · π))
101 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 mod π) = 0)
102 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
103 mod0 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
104102, 41, 103sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
105101, 104mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
106105adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) ∈ ℤ)
107 rpreccl 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π ∈ ℝ+ → (1 / π) ∈ ℝ+)
10841, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / π) ∈ ℝ+
109 moddi 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1 / π) ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
110108, 43, 109mp3an13 1556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) = (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))))
11129, 96, 97divrec2d 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) = ((1 / π) · 𝑠))
112111eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · 𝑠) = (𝑠 / π))
11396, 97reccld 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / π) ∈ ℂ)
11432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
115113, 114mulcomd 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = ((2 · π) · (1 / π)))
116 2cnd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
117116, 96, 113mulassd 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (1 / π)) = (2 · (π · (1 / π))))
11813, 19recidi 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π · (1 / π)) = 1
119118oveq2i 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · (π · (1 / π))) = (2 · 1)
120116mulid1d 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · 1) = 2)
121119, 120syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · (π · (1 / π))) = 2)
122115, 117, 1213eqtrd 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / π) · (2 · π)) = 2)
123112, 122oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / π) · 𝑠) mod ((1 / π) · (2 · π))) = ((𝑠 / π) mod 2))
124110, 123eqtr2d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
125124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) = ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))))
126113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ∈ ℂ)
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℝ)
12843a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℝ+)
129127, 128modcld 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℝ)
130129recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
131130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ∈ ℂ)
132 ax-1cn 10178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
133132, 13, 77, 19divne0i 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / π) ≠ 0
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (1 / π) ≠ 0)
135 neqne 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
136135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
137126, 131, 134, 136mulne0d 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((1 / π) · (𝑠 mod (2 · π))) ≠ 0)
138125, 137eqnetrd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
139138adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0)
140 oddfl 39980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑠 / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑠 / π) mod 2) ≠ 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
141106, 139, 140syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
142141oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 / π) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
143100, 142eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))
144143oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑘 · 𝑠) = (𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))
145144fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) = (cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
146145sumeq2sdv 14626 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))))
147146oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))))
148147oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
149148adantlll 756 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π))
1503ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
15117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
152127, 151, 97redivcld 11037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / π) ∈ ℝ)
153152rehalfcld 11463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / π) / 2) ∈ ℝ)
154153flcld 12785 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
155154ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (⌊‘((𝑠 / π) / 2)) ∈ ℤ)
156 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)
157150, 155, 156dirkertrigeqlem3 40812 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
158157adantlr 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))))
159141adantlll 756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (𝑠 / π) = ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1))
160159eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) = (𝑠 / π))
161160oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) = ((𝑠 / π) · π))
162161oveq2d 6821 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)))
163162fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))))
164161oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2) = (((𝑠 / π) · π) / 2))
165164fveq2d 6348 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)) = (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))
166165oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))))
167163, 166oveq12d 6823 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))))
16898oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
169168fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
17098oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℝ → (((𝑠 / π) · π) / 2) = (𝑠 / 2))
171170fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
172171oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
173169, 172oveq12d 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
174173adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
175174ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑠 / π) · π))) / ((2 · π) · (sin‘(((𝑠 / π) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
176167, 175eqtrd 2786 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π))) / ((2 · π) · (sin‘((((2 · (⌊‘((𝑠 / π) / 2))) + 1) · π) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
177149, 158, 1763eqtrrd 2791 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
178 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℝ)
179 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 mod π) = 0)
180178, 41, 103sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((𝑠 mod π) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
181179, 180mtbid 313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (𝑠 / π) ∈ ℤ)
182178recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
183 sineq0 24464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℂ → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
184182, 183syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘𝑠) = 0 ↔ (𝑠 / π) ∈ ℤ))
185181, 184mtbird 314 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ¬ (sin‘𝑠) = 0)
186185neqned 2931 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (sin‘𝑠) ≠ 0)
1873ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
188178, 186, 187dirkertrigeqlem2 40811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
189188eqcomd 2758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
190189adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) ∧ ¬ (𝑠 mod π) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
191177, 190pm2.61dan 867 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
19295, 191eqtr2d 2787 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
19393, 192pm2.61dan 867 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
194193mpteq2dva 4888 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
1957, 194syl5req 2799 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = 𝐻)
1962, 6, 1953eqtrd 2790 1 (𝜑𝐹 = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  ifcif 4222  cmpt 4873  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  +crp 12017  ...cfz 12511  cfl 12777   mod cmo 12854  chash 13303  Σcsu 14607  sincsin 14985  cosccos 14986  πcpi 14988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822
This theorem is referenced by:  dirkeritg  40814  fourierdlem83  40901
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