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Theorem dirkercncflem4 40818
 Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem4.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem4.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
dirkercncflem4.a 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
dirkercncflem4.b 𝐵 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
dirkercncflem4.e 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem4 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑦,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sincn 24389 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3 ioosscn 40211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ)
5 dirkercncflem4.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
87halfcld 11461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
96, 8addcld 10243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10 ssid 3757 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
124, 9, 11constcncfg 40579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
134, 11idcncfg 40580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1412, 13mulcncf 23407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152, 14cncfmpt1f 22909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
16 2cnd 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℂ)
17 pirp 24404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ+)
1918rpcnd 12059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℂ)
21 ioossre 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ)
2322sselda 3736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2524halfcld 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
2625sincld 15051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
28 2rp 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ+)
3029rpne0d 12062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ≠ 0)
3118rpne0d 12062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ≠ 0)
3216, 19, 30, 31mulne0d 10863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ≠ 0)
3324, 16, 19, 30, 31divdiv1d 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem4.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
35 dirkercncflem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
3635oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3734, 36eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐶 = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
3837oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 / (2 · π)) = (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π))
39 dirkercncflem4.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
40 2re 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
41 pire 24401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 π ∈ ℝ
4240, 41remulcli 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
44 0re 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ ℝ
45 2pos 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < 2
46 pipos 24403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 < π
4740, 41, 45, 46mulgt0ii 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 < (2 · π)
4844, 47gtneii 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (2 · π) ≠ 0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5039, 43, 49redivcld 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5150flcld 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
5251zred 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℝ)
5352recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℂ)
5443recnd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5553, 54, 49divcan4d 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5638, 55syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
5756, 51eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
5952, 43remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) ∈ ℝ)
6037, 59syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6229, 18rpmulcld 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
63 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸))
6460rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6635eqcomi 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) = 𝐴
6766oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = (𝐴 + 1)
68 dirkercncflem4.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐵 = (𝐴 + 1)
6967, 68eqtr4i 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = 𝐵
7069oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (𝐵 · (2 · π))
71 dirkercncflem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
7270, 71eqtr4i 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸)
74 1red 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7552, 74readdcld 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 43remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7877rexrd 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ*)
80 elioo2 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8165, 79, 80syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸)))
8263, 81mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦𝑦 < 𝐸))
8382simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 < 𝑦)
8461, 23, 62, 83ltdiv1dd 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8577adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ)
8682simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 < 𝐸)
8723, 85, 62, 86ltdiv1dd 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐸 / (2 · π)))
8834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐶 = (𝐴 · (2 · π)))
8988oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)))
9089oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐶 / (2 · π)) + 1) = (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1))
9135, 53syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9291, 54, 49divcan4d 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) = 𝐴)
9392oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1) = (𝐴 + 1))
9468oveq1i 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐵 · (2 · π)) = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9571, 94eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π)))
9796oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)))
9891, 7addcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
9998, 54, 49divcan4d 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)) = (𝐴 + 1))
10097, 99eqtr2d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 · π)))
10190, 93, 1003eqtrrd 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
10387, 102breqtrd 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
104 btwnnz 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10558, 84, 103, 104syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10633, 105eqneltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
107 sineq0 24464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
10825, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
109106, 108mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
110109neqned 2931 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
11120, 26, 32, 110mulne0d 10863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
112111neneqd 2929 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
11340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ)
11441a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ)
115113, 114remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ)
11623rehalfcld 11463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117116resincld 15064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118115, 117remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119 elsng 4327 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
121112, 120mtbird 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0})
12227, 121eldifd 3718 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
123 eqidd 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
124 eqidd 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
125 oveq2 6813 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) → (1 / 𝑥) = (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
126122, 123, 124, 125fmptco 6551 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
127 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
128 2cnd 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1294, 128, 11constcncfg 40579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
131130rpcnd 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
1324, 131, 11constcncfg 40579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ π) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
133129, 132mulcncf 23407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (2 · π)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13424, 16, 30divrecd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) = (𝑦 · (1 / 2)))
135134mpteq2dva 4888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))))
1364, 8, 11constcncfg 40579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13713, 136mulcncf 23407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
138135, 137eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
1392, 138cncfmpt1f 22909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
140133, 139mulcncf 23407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
141 ssid 3757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸)
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸))
143 difssd 3873 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
144127, 140, 142, 143, 122cncfmptssg 40578 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→(ℂ ∖ {0})))
145 ax-1cn 10178 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
146 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
147146cdivcncf 22913 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
148145, 147mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
149144, 148cncfco 22903 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
150126, 149eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
15115, 150mulcncf 23407 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152 dirkercncflem4.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
153152dirkerval 40803 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
1545, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
155154reseq1d 5542 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
15622resmptd 5602 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
15728a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
158157, 130rpmulcld 12073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
159158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ+)
160 mod0 12861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
16123, 159, 160syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
162105, 161mtbird 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
163162iffalsed 4233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1646adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑁 ∈ ℂ)
165 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 1 ∈ ℂ)
166165halfcld 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
167164, 166addcld 10243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
168167, 24mulcld 10244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
169168sincld 15051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
170169, 27, 111divrecd 10988 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
171163, 170eqtrd 2786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
172171mpteq2dva 4888 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
173155, 156, 1723eqtrrd 2791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
174 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
175174tgioo2 22799 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
176175oveq1i 6815 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸))
177174cnfldtop 22780 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
178 reex 10211 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
179 restabs 21163 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
180177, 21, 178, 179mp3an 1565 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
181176, 180eqtri 2774 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐶(,)𝐸))
182 unicntop 22782 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
183182restid 16288 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
184177, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
185184eqcomi 2761 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
186174, 181, 185cncfcn 22905 . . . . . . . . 9 (((𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1874, 11, 186syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
188151, 173, 1873eltr3d 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
189 retopon 22760 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
191 resttopon 21159 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
192190, 22, 191syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
193174cnfldtopon 22779 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
194193a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
195 cncnp 21278 . . . . . . . 8 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
196192, 194, 195syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
197188, 196mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
198197simprd 482 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
199 dirkercncflem4.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
200199neneqd 2929 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
201 mod0 12861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
20239, 158, 201syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
203200, 202mtbid 313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
204 flltnz 12798 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20550, 203, 204syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
20652, 50, 158, 205ltmul1dd 12112 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
20739recnd 10252 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
208207, 54, 49divcan1d 10986 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
209206, 208breqtrd 4822 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < 𝑌)
21037, 209syl5eqbr 4831 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝑌)
211 fllelt 12784 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
21250, 211syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
213212simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1))
21450, 75, 158, 213ltmul1dd 12112 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) < (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)))
215214, 208, 733brtr3d 4827 . . . . . 6 (𝜑𝑌 < 𝐸)
21664, 78, 39, 210, 215eliood 40215 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸))
217 fveq2 6344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
218217eleq2d 2817 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
219218rspccva 3440 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
220198, 216, 219syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
221177a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
222152dirkerf 40809 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
2235, 222syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
224223, 22fssresd 6224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ)
225 ax-resscn 10177 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
226225a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
227 retop 22758 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
228 uniretop 22759 . . . . . . . 8 ℝ = (topGen‘ran (,))
229228restuni 21160 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)))
230227, 21, 229mp2an 710 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐸) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸))
231230, 182cnprest2 21288 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
232221, 224, 226, 231syl3anc 1473 . . . 4 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌)))
233220, 232mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌))
234175eqcomi 2761 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
235234a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
236235oveq2d 6821 . . . 4 (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,))))
237236fveq1d 6346 . . 3 (𝜑 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑌) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
238233, 237eleqtrd 2833 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
239227a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
240 iooretop 22762 . . . . . . 7 (𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,))
241228isopn3 21064 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)))
242240, 241mpbii 223 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
243239, 22, 242syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
244243eqcomd 2758 . . . 4 (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
245216, 244eleqtrd 2833 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
246228, 228cnprest 21287 . . 3 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) ∧ (𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)) → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
247239, 22, 245, 223, 246syl22anc 1474 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
248238, 247mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐷𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042  Vcvv 3332   ∖ cdif 3704   ⊆ wss 3707  ifcif 4222  {csn 4313  ∪ cuni 4580   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  ran crn 5259   ↾ cres 5260   ∘ ccom 5262  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118  ℝcr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  ℝ*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259   / cdiv 10868  ℕcn 11204  2c2 11254  ℤcz 11561  ℝ+crp 12017  (,)cioo 12360  ⌊cfl 12777   mod cmo 12854  sincsin 14985  πcpi 14988   ↾t crest 16275  TopOpenctopn 16276  topGenctg 16292  ℂfldccnfld 19940  Topctop 20892  TopOnctopon 20909  intcnt 21015   Cn ccn 21222   CnP ccnp 21223  –cn→ccncf 22872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822 This theorem is referenced by:  dirkercncf  40819
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