Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem3 40833
 Description: The Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem3.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem3.b 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem3.yr (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem3.d . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
2 oveq2 6800 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
32fveq2d 6336 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
43cbvmptv 4882 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
5 fvoveq1 6815 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
65oveq2d 6808 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
76cbvmptv 4882 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
8 dirkercncflem3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑌 − π)
9 dirkercncflem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (𝑌 + π)
10 dirkercncflem3.yr . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
11 dirkercncflem3.yod . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
128, 9, 10, 11dirkercncflem1 40831 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
1312simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
14 r19.26 3211 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
1513, 14sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
1615simpld 476 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
1716r19.21bi 3080 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
182fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
1918oveq2d 6808 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
2019cbvmptv 4882 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
21 fvoveq1 6815 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
2221oveq2d 6808 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
2322cbvmptv 4882 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
24 eqid 2770 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2)))))
25 dirkercncflem3.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2612simpld 476 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2715simprd 477 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
2827r19.21bi 3080 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
291, 4, 7, 17, 20, 23, 24, 25, 26, 11, 28dirkercncflem2 40832 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
301dirkerf 40825 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
3125, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
32 ax-resscn 10194 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3431, 33fssd 6197 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ)
35 ioossre 12439 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
3736ssdifssd 3897 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
38 eqid 2770 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
39 eqid 2770 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))
40 iooretop 22788 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41 retop 22784 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42 uniretop 22785 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
4342isopn3 21090 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
4441, 36, 43sylancr 567 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
4540, 44mpbii 223 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
4626, 45eleqtrrd 2852 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
4738tgioo2 22825 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4948fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝜑 → (int‘(topGen‘ran (,))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5049fveq1d 6334 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
5146, 50eleqtrd 2851 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
5210snssd 4473 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌} ⊆ ℝ)
53 ssequn2 3935 . . . . . . . 8 ({𝑌} ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
5452, 53sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
5554oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5655fveq2d 6336 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
57 uncom 3906 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
5826snssd 4473 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
59 undif 4189 . . . . . . 7 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
6058, 59sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
6157, 60syl5eq 2816 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
6256, 61fveq12d 6338 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
6351, 62eleqtrrd 2852 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
6434, 37, 33, 38, 39, 63limcres 23869 . 2 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌) = ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
6529, 64eleqtrd 2851 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060   ∖ cdif 3718   ∪ cun 3719   ⊆ wss 3721  ifcif 4223  {csn 4314   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250   ↾ cres 5251  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   − cmin 10467   / cdiv 10885  ℕcn 11221  2c2 11271  (,)cioo 12379   mod cmo 12875  sincsin 14999  cosccos 15000  πcpi 15002   ↾t crest 16288  TopOpenctopn 16289  topGenctg 16305  ℂfldccnfld 19960  Topctop 20917  intcnt 21041   limℂ climc 23845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-t1 21338  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850 This theorem is referenced by:  dirkercncf  40835
 Copyright terms: Public domain W3C validator