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Theorem dirkercncflem2 40639
 Description: Lemma used to prove that the Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem2.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
dirkercncflem2.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.yne0 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
dirkercncflem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
dirkercncflem2.i 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem2.l 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
dirkercncflem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dirkercncflem2.ymod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
dirkercncflem2.11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵,𝑦   𝑦,𝐷   𝑤,𝐹,𝑦   𝑤,𝐺,𝑦   𝑤,𝐻,𝑦   𝑤,𝐼,𝑦   𝑦,𝐿   𝑤,𝑁,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦   𝑦,𝑛   𝜑,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐿(𝑤,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem2
StepHypRef Expression
1 difss 3770 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
2 ioossre 12273 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
31, 2sstri 3645 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5 dirkercncflem2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 halfre 11284 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10107 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
114sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
1210, 11remulcld 10108 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℝ)
1312resincld 14917 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℝ)
14 dirkercncflem2.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
1513, 14fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐹:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
16 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
17 pire 24255 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
1816, 17remulcli 10092 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
2011rehalfcld 11317 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
2120resincld 14917 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
2219, 21remulcld 10108 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
23 dirkercncflem2.g . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
2422, 23fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℝ)
25 iooretop 22616 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
27 dirkercncflem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28 eqid 2651 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})
2914a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
3029oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
31 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
323, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
3332eqcomi 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
3534oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
36 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
385nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
39 halfcn 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40addcld 10097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
4337sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
4544sincld 14904 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
46 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
4745, 46fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ)
48 ssid 3657 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ
4948, 3pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ))
51 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5251tgioo2 22653 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52dvres 23720 . . . . . . . . 9 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
5437, 47, 50, 53syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
55 retop 22612 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
56 rehaus 22649 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
5727elioored 40094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
58 uniretop 22613 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ = (topGen‘ran (,))
5958sncld 21223 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6056, 57, 59sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
6158difopn 20886 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {𝑌} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6225, 60, 61sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,)))
63 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6455, 62, 63sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
6564reseq2d 5428 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
66 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
69 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7068, 69mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
7170sincld 14904 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
72 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
7371, 72fmptd 6425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ)
74 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
76 dvsinax 40445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7741, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
7877dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
79 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8070coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
8168, 80mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
8279, 81dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8378, 82eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = ℂ)
8436, 83syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
85 dvres3 23722 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
8667, 73, 75, 84, 85syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
87 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8836, 87mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
8988oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9077reseq1d 5427 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ))
91 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9236, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
9390, 92syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9486, 89, 933eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9594reseq1d 5427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
96 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
973, 96mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9865, 95, 973eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
9935, 54, 983eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
100 dirkercncflem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
102101eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))) = 𝐻)
10330, 99, 1023eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐻)
104103dmeqd 5358 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐻)
10511recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
106105, 81syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ)
107100, 106dmmptd 6062 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐻 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
108104, 107eqtr2d 2686 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹))
109 eqimss 3690 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐹) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
110108, 109syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
111 dirkercncflem2.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
112111a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
113 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
1143, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
115114eqcomi 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
116115oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
117116a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
118 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
119 picn 24256 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
120118, 119mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) ∈ ℂ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
12243halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
123122sincld 14904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
124121, 123mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
125 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
126124, 125fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ)
12751, 52dvres 23720 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12837, 126, 50, 127syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
12964reseq2d 5428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
13036sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
131 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
132 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
133 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
134 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
136131, 132, 133, 135div13d 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = ((𝑦 / 2) · 1))
137 halfcl 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
138137mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 / 2) · 1) = (𝑦 / 2))
139136, 138eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑦) = (𝑦 / 2))
140139fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
141140oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
142141eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
143130, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
145144mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
146145oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
147120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · π) ∈ ℂ)
14839a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 / 2) ∈ ℂ)
149148, 69mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑦) ∈ ℂ)
150149sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (sin‘((1 / 2) · 𝑦)) ∈ ℂ)
151147, 150mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))) ∈ ℂ)
152 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))
153151, 152fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ)
154 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
155119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → π ∈ ℂ)
156154, 155mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
157 dvasinbx 40453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
158156, 39, 157sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))))
159 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
160119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → π ∈ ℂ)
161159, 160, 148mul32d 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = ((2 · (1 / 2)) · π))
162134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
163159, 162recidd 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (1 / 2)) = 1)
164163oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · π) = (1 · π))
165160mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (1 · π) = π)
166161, 164, 1653eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((2 · π) · (1 / 2)) = π)
167139fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
168167adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘((1 / 2) · 𝑦)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
169166, 168oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
170169mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((2 · π) · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
171158, 170eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
172171dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
173 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
17469halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
175174coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
176160, 175mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
177173, 176dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = ℂ)
178172, 177eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ℂ)
17936, 178syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
180 dvres3 23722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
18167, 153, 75, 179, 180syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ))
182 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
18336, 182mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))))
184183oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦)))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))))
185171reseq1d 5427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) ↾ ℝ) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
186181, 184, 1853eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ))
187 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
18836, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ℝ) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
189186, 188syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘((1 / 2) · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
190146, 189eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
191190reseq1d 5427 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
1924resmptd 5487 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
193129, 191, 1923eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
194117, 128, 1933eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
195194eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
19623a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
197196oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
198197eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (ℝ D 𝐺))
199112, 195, 1983eqtrrd 2690 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐼)
200199dmeqd 5358 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = dom 𝐼)
201105, 176syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
202111, 201dmmptd 6062 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐼 = ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
203200, 202eqtr2d 2686 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺))
204 eqimss 3690 . . . 4 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) = dom (ℝ D 𝐺) → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
205203, 204syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
206105, 70syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
207206ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
208 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
209208fnmpt 6058 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
210207, 209syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
211 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
212 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
213212oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
214 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
21538adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑁 ∈ ℂ)
216 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
217216halfcld 11315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
218215, 217addcld 10097 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
219 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
220219elioored 40094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℝ)
221220recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑤 ∈ ℂ)
222221adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑤 ∈ ℂ)
223218, 222mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
224211, 213, 214, 223fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
225 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
226225anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ↔ (𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))))
227 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 mod (2 · π)) = (𝑤 mod (2 · π)))
228227neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0 ↔ (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0))
229226, 228imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)))
230 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
231 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
232230, 231, 1303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℂ)
233 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ∈ ℂ)
234119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ∈ ℂ)
235134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 2 ≠ 0)
236 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
237 pipos 24257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
238236, 237gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → π ≠ 0)
240232, 233, 234, 235, 239divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
241240eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
242241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
243 dirkercncflem2.yne0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
244243neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
245105halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
246 sineq0 24318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
248244, 247mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
249242, 248eqneltrd 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
250 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ+
251 pirp 24258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ+
252 rpmulcl 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
253250, 251, 252mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · π) ∈ ℝ+
254 mod0 12715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
25511, 253, 254sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
256249, 255mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
257256neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 mod (2 · π)) ≠ 0)
258229, 257chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑤 mod (2 · π)) ≠ 0)
259258neneqd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
260 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝜑)
261 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
262221ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 ∈ ℂ)
26357recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
264263ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑌 ∈ ℂ)
265 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2665nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
267 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
268267rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
269266, 268readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2705nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝑁)
271250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
272271rpreccld 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ+)
273266, 272ltaddrpd 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 < (𝑁 + (1 / 2)))
274265, 266, 269, 270, 273lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < (𝑁 + (1 / 2)))
275274gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)
27641, 275jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
277276ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0))
278 mulcan 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + (1 / 2)) ≠ 0)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
279262, 264, 277, 278syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ↔ 𝑤 = 𝑌))
280261, 279mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → 𝑤 = 𝑌)
281 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 mod (2 · π)) = (𝑌 mod (2 · π)))
282 dirkercncflem2.ymod . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
283281, 282sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
284260, 280, 283syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) → (𝑤 mod (2 · π)) = 0)
285259, 284mtand 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
28641, 263mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
287286adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ)
288 elsn2g 4243 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ℂ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
289287, 288syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)} ↔ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
290285, 289mtbird 314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})
291223, 290eldifd 3618 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
292224, 291eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
293 sinf 14898 . . . . . . . . . . . 12 sin:ℂ⟶ℂ
294293fdmi 6090 . . . . . . . . . . 11 dom sin = ℂ
295294eqcomi 2660 . . . . . . . . . 10 ℂ = dom sin
296295a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ℂ = dom sin)
297296difeq1d 3760 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (ℂ ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}) = (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
298292, 297eleqtrd 2732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
299298ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
300 fnfvrnss 6430 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) Fn ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ∀𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) ∈ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)})) → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
301210, 299, 300syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ⊆ (dom sin ∖ {((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)}))
302 uncom 3790 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
303302a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
30427snssd 4372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
305 undif 4082 . . . . . . . . . 10 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
306304, 305sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
307303, 306eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
308307mpteq1d 4771 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
309 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
310 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))
311309, 310eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
312311adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
313 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
314313adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))
315 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
316 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
317316adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
318 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
319 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 = 𝑌)
320 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑌} ↔ 𝑤 = 𝑌)
321319, 320sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤 = 𝑌 → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
322321adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ¬ 𝑤 ∈ {𝑌})
323318, 322eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
324323adantll 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
32541adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
326 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ)
327326recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑤 ∈ ℂ)
328327adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ ℂ)
329325, 328mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
330329adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) ∈ ℂ)
331315, 317, 324, 330fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
332314, 331eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
333312, 332pm2.61dan 849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
334333mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
335 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
336 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
337335, 336ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
338 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
339338mulc1cncf 22755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34041, 339syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34151cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
342 unicntop 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
343342restid 16141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
344341, 343ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
345344eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
34651, 345, 345cncfcn 22759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
34774, 75, 346sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
348340, 347eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3492, 37syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
350342cnrest 21137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
351348, 349, 350syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
352337, 351syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35351cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
354 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
355353, 349, 354sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
356 cncnp 21132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
357355, 353, 356sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
358352, 357mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
359358simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
360 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
361360eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
362361rspccva 3339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
363359, 27, 362syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
364334, 363eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
365307eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
366365oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
367366oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
368367fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
369364, 368eleqtrd 2732 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
370308, 369eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
371 eqid 2651 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}))
372 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
373206, 208fmptd 6425 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
3744, 36syl6ss 3648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℂ)
375371, 51, 372, 373, 374, 263ellimc 23682 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
376370, 375mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) lim 𝑌))
377134a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
378238a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → π ≠ 0)
379154, 155, 377, 378mulne0d 10717 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
380263, 156, 379divcan1d 10840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
381380eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
382381oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))))
383382fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))))
384263, 156, 379divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
38541, 384, 156mul12d 10283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
38641, 154, 155mulassd 10101 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)))
387386eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π))
388387oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)))
38938, 40, 154adddird 10103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)))
390154, 377recid2d 10835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((1 / 2) · 2) = 1)
391390oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + ((1 / 2) · 2)) = ((𝑁 · 2) + 1))
392389, 391eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 2) = ((𝑁 · 2) + 1))
393392oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π) = (((𝑁 · 2) + 1) · π))
394393oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 + (1 / 2)) · 2) · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
395385, 388, 3943eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
39638, 154mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℂ)
397 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
398396, 397addcld 10097 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℂ)
399384, 398, 155mulassd 10101 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π) = ((𝑌 / (2 · π)) · (((𝑁 · 2) + 1) · π)))
400395, 399eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π))) = (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π))
401400fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))) = (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)))
402 mod0 12715 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
40357, 253, 402sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
404282, 403mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
4055nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
406 2z 11447 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
407406a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
408405, 407zmulcld 11526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 2) ∈ ℤ)
409408peano2zd 11523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 2) + 1) ∈ ℤ)
410404, 409zmulcld 11526 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ)
411 sinkpi 24316 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) ∈ ℤ → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
412410, 411syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(((𝑌 / (2 · π)) · ((𝑁 · 2) + 1)) · π)) = 0)
413383, 401, 4123eqtrd 2689 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = 0)
414 sincn 24243 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
415414a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
416415, 286cnlimci 23698 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
417413, 416eqeltrrd 2731 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (sin lim ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
418301, 376, 417limccog 40170 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌))
41914a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
420213fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
421223sincld 14904 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
422419, 420, 214, 421fvmptd 6327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
423224fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
424422, 423eqtr4d 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑤) = (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)))
425424mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
42615feqmptd 6288 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (𝐹𝑤)))
427 fcompt 6440 . . . . . . 7 ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
428293, 373, 427sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
429425, 426, 4283eqtr4rd 2696 . . . . 5 (𝜑 → (sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = 𝐹)
430429oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → ((sin ∘ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) lim 𝑌) = (𝐹 lim 𝑌))
431418, 430eleqtrd 2732 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝑌))
432 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 𝑤 = 𝑌)
433432iftrued 4127 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = 0)
434263, 154, 156, 377, 379divdiv32d 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) / 2))
435434oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)))
436263halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑌 / 2) ∈ ℂ)
437436, 156, 379divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑌 / 2))
438384, 154, 156, 377div32d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)))
439155, 154, 377divcan3d 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · π) / 2) = π)
440439oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · ((2 · π) / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
441438, 440eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) / 2) · (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
442435, 437, 4413eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 / 2) = ((𝑌 / (2 · π)) · π))
443442fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)))
444 sinkpi 24316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
445404, 444syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘((𝑌 / (2 · π)) · π)) = 0)
446443, 445eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(𝑌 / 2)) = 0)
447446oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · 0))
448156mul01d 10273 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · π) · 0) = 0)
449447, 448eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = 0)
450449eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
451450ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → 0 = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
452 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 / 2) = (𝑌 / 2))
453452fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑌 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑌 / 2)))
454453oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))
455454eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑌 → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
456455adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
457433, 451, 4563eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
458 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
459458adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = (𝐺𝑤))
46023a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐺 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
461 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 / 2) = (𝑤 / 2))
462461fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑤 / 2)))
463462oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤 → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
464463adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
465120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · π) ∈ ℂ)
466328halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
467466sincld 14904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
468465, 467mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
469468adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
470460, 464, 324, 469fvmptd 6327 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐺𝑤) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
471459, 470eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
472457, 471pm2.61dan 849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
473472mpteq2dva 4777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))))
474 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))))
47575, 156, 75constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (2 · π)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
476 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
477 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
478134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
479476, 477, 478divrec2d 10843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 2) = ((1 / 2) · 𝑤))
480479mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
481 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤))
482481mulc1cncf 22755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
48339, 482ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((1 / 2) · 𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
484480, 483eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
485484a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
486415, 485cncfmpt1f 22763 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
487475, 486mulcncf 23261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
488474, 487, 349, 75, 468cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
489 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
49051, 489, 345cncfcn 22759 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
491349, 74, 490sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
492488, 491eleqtrd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
493 cncnp 21132 . . . . . . . . . 10 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
494355, 353, 493sylancl 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
495492, 494mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
496495simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
497360eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
498497rspccva 3339 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
499496, 27, 498syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
500473, 499eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
501307mpteq1d 4771 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))))
502366eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
503502oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)))
504503fveq1d 6231 . . . . 5 (𝜑 → ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌) = ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
505500, 501, 5043eltr4d 2745 . . . 4 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
506 eqid 2651 . . . . 5 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤)))
50711, 124syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
508507, 23fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
509371, 51, 506, 508, 374, 263ellimc 23682 . . . 4 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, 0, (𝐺𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
510505, 509mpbird 247 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝑌))
511256nrexdv 3030 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
512 ffun 6086 . . . . . . 7 (𝐺:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ → Fun 𝐺)
513508, 512syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐺)
514 fvelima 6287 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
515513, 514sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0)
516 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
517119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
518134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
519238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
520105, 516, 517, 518, 519divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
521520eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
522521adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) = ((𝑦 / 2) / π))
523 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 2 ∈ ℂ)
524119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → π ∈ ℂ)
525523, 524mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
526232adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
527526halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
528527sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
529525, 528mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
53023fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
531529, 530syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
532531eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = (𝐺𝑦))
533 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝐺𝑦) = 0)
534532, 533eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
535120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (2 · π) ∈ ℂ)
536232halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
537536sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
538535, 537mul0ord 10715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
539538adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0 ↔ ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)))
540534, 539mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
541 2cnne0 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
542119, 238pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
543 mulne0 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (2 · π) ≠ 0)
544541, 542, 543mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ≠ 0
545544neii 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (2 · π) = 0
546 pm2.53 387 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) = 0 ∨ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0) → (¬ (2 · π) = 0 → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0))
547540, 545, 546mpisyl 21 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
548547adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
549105adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
550549halfcld 11315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
551550, 246syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
552548, 551mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
553522, 552eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
55411adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
555554, 253, 254sylancl 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
556553, 555mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ (𝐺𝑦) = 0) → (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
557556ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐺𝑦) = 0 → (𝑦 mod (2 · π)) = 0))
558557reximdva 3046 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
559558adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → (∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐺𝑦) = 0 → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0))
560515, 559mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝑦 mod (2 · π)) = 0)
561511, 560mtand 692 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐺 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
562 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
563111fvmpt2 6330 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
564562, 201, 563syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
565536coscld 14905 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
566565adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
567 dirkercncflem2.11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
568517, 566, 519, 567mulne0d 10717 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
569564, 568eqnetrd 2890 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐼𝑦) ≠ 0)
570569neneqd 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝐼𝑦) = 0)
571570nrexdv 3030 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
572201, 111fmptd 6425 . . . . . . 7 (𝜑𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
573 ffun 6086 . . . . . . 7 (𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ → Fun 𝐼)
574572, 573syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
575 fvelima 6287 . . . . . 6 ((Fun 𝐼 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
576574, 575sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))) → ∃𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(𝐼𝑦) = 0)
577571, 576mtand 692 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
578199imaeq1d 5500 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐼 “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
579577, 578neleqtrrd 2752 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((ℝ D 𝐺) “ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
580 dirkercncflem2.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
581580dirkerval2 40629 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
5825, 57, 581syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) = if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))))
583282iftrued 4127 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
584 dirkercncflem2.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
585584a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))))
586 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
587586adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
588154, 38mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
589588, 397addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
590589, 154, 155, 377, 378divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
591590eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π))
592588, 397, 154, 377divdird 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
59338, 154, 377divcan3d 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
594593oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
595592, 594eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
596595oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / 2) / π) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
597591, 596eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
598597ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
599310fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)))
600599oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))))
601452fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑌 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
602601oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑌 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑌 / 2))))
603600, 602oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑌 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
604603adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
60538, 40, 263adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)))
606397, 154, 263, 377div32d 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (1 · (𝑌 / 2)))
607436mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 · (𝑌 / 2)) = (𝑌 / 2))
608606, 607eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑌) = (𝑌 / 2))
609608oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + ((1 / 2) · 𝑌)) = ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)))
61038, 263mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) ∈ ℂ)
611610, 436addcomd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) + (𝑌 / 2)) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
612605, 609, 6113eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌) = ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)))
613612fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))))
614610, 156, 379divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)) = (𝑁 · 𝑌))
615614eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · 𝑌) = (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))
616615oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌)) = ((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π))))
617616fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (𝑁 · 𝑌))) = (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))))
61838, 263, 156, 379divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) = (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))))
619405, 404zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁 · (𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
620618, 619eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ)
621 cosper 24279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑌 / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) ∈ ℤ) → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
622436, 620, 621syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (cos‘((𝑌 / 2) + (((𝑁 · 𝑌) / (2 · π)) · (2 · π)))) = (cos‘(𝑌 / 2)))
623613, 617, 6223eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
624623oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))))
625624oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))))
626436coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ∈ ℂ)
627263, 154, 155, 377, 378divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) = (𝑌 / (2 · π)))
628627, 404eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ)
629628zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) ∈ ℝ)
630629, 272ltaddrpd 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)))
631 halflt1 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 2) < 1
632631a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
633268, 267, 629, 632ltadd2dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1))
634 btwnnz 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑌 / 2) / π) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / 2) / π) < (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∧ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) < (((𝑌 / 2) / π) + 1)) → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
635628, 630, 633, 634syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
636 coseq0 40393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
637436, 636syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((cos‘(𝑌 / 2)) = 0 ↔ (((𝑌 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
638635, 637mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ (cos‘(𝑌 / 2)) = 0)
639638neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
64041, 155, 626, 378, 639divcan5rd 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘(𝑌 / 2))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
641625, 640eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
642641ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌))) / (π · (cos‘(𝑌 / 2)))) = ((𝑁 + (1 / 2)) / π))
643604, 642eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) / π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
644587, 598, 6433eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
645 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 = 𝑌 → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
646645adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))
647 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))))
648 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑤))
649 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑤))
650648, 649oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
651650adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
652106, 100fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
653652ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
654653, 324ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) ∈ ℂ)
655572ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼:((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
656655, 324ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ∈ ℂ)
657111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐼 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
658 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝑦 = 𝑤)
659658oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝑦 / 2) = (𝑤 / 2))
660659fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
661660oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (π · (cos‘(𝑦 / 2))) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
662119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → π ∈ ℂ)
663327halfcld 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑤 / 2) ∈ ℂ)
664663coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
665662, 664mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
666665ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
667657, 661, 324, 666fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) = (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
668542a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
669664ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
670 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝜑)
671461fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝑦 / 2)) = (cos‘(𝑤 / 2)))
672671neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → ((cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ↔ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0))
673226, 672imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)))
674673, 567chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
675670, 324, 674syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
676 mulne0 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ ((cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
677668, 669, 675, 676syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
678667, 677eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐼𝑤) ≠ 0)
679654, 656, 678divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) ∈ ℂ)
680647, 651, 324, 679fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤) = ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)))
681100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → 𝐻 = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))))
682317fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
683682oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
684329coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) ∈ ℂ)
685325, 684mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
686685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ℂ)
687681, 683, 324, 686fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (𝐻𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
688687, 667oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → ((𝐻𝑤) / (𝐼𝑤)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))))
689646, 680, 6883eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝑤 = 𝑌) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
690644, 689pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
691690mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
692585, 691eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = 𝐿)
693349, 41, 75constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
694 cosf 14899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos:ℂ⟶ℂ
695231, 44sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
696 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
697695, 696fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
698 fcompt 6440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((cos:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
699694, 697, 698sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))))
700 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
701316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑦 = 𝑤) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
702 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵))
703700, 701, 702, 329fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))
704703fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))
705704mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))))
706699, 705eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
707349, 41, 75constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
708349, 75idcncfg 40403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
709707, 708mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
710 coscn 24244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
711710a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
712709, 711cncfco 22757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (cos ∘ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
713706, 712eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
714693, 713mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
715 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2))))
716349, 155, 75constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
717 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
718134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
719328, 717, 718divrecd 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 / 2) = (𝑤 · (1 / 2)))
720719mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))))
721 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2)))
722 cncfmptid 22762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72374, 74, 722mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
724723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
726 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
727725, 726, 725constcncfg 40402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72839, 727mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
729724, 728mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
730719, 466eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑤 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
731721, 729, 349, 75, 730cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 · (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
732720, 731eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑤 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
733711, 732cncfmpt1f 22763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
734716, 733mulcncf 23261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
735 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
736735a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
737 difssd 3771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
738665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ)
739119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℂ)
740664adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ∈ ℂ)
741238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ≠ 0)
742601adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑌 / 2)))
743639adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑌 / 2)) ≠ 0)
744742, 743eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
745744adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 = 𝑌) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
746745, 675pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑤 / 2)) ≠ 0)
747739, 740, 741, 746mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ≠ 0)
748747neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0)
749 elsng 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ ℂ → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
750738, 749syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0} ↔ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = 0))
751748, 750mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ {0})
752738, 751eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
753715, 734, 736, 737, 752cncfmptssg 40401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
754714, 753divcncf 23262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
755754, 491eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) / (π · (cos‘(𝑤 / 2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
756585, 755eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
757 cncnp 21132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
758355, 353, 757sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))))
759756, 758mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦)))
760759simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
761360eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ↔ 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
762761rspccva 3339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
763760, 27, 762syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
764692, 763eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
765307mpteq1d 4771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))))
766764, 765, 5043eltr4d 2745 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌))
767 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤)))
768100fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
769562, 106, 768syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐻𝑦) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
770769, 564oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))))
771106, 201, 568divcld 10839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) / (π · (cos‘(𝑦 / 2)))) ∈ ℂ)
772770, 771eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) ∈ ℂ)
773 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))
774772, 773fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))):((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})⟶ℂ)
775371, 51, 767, 774, 374, 263ellimc 23682 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) ↔ (𝑤 ∈ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) ↦ if(𝑤 = 𝑌, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)))‘𝑤))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑌)))
776766, 775mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌))
777103eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 = (ℝ D 𝐹))
778777fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
779199eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 = (ℝ D 𝐺))
780779fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑦) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
781778, 780oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
782781mpteq2dv 4778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))))
783782oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐻𝑦) / (𝐼𝑦))) lim 𝑌) = ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
784776, 783eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
785583, 784eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑 → if((𝑌 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑌)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑌 / 2))))) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
786582, 785eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) lim 𝑌))
7874, 15, 24, 26, 27, 28, 110, 205, 431, 510, 561, 579, 786lhop 23824 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌))
788580dirkerval 40626 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
7895, 788syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
790789reseq1d 5427 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
7914resmptd 5487 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
792256iffalsed 4130 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
79313recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
79414fvmpt2 6330 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
795562, 793, 794syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐹𝑦) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
796562, 507, 530syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐺𝑦) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
797795, 796oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
798792, 797eqtr4d 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦)))
799798mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))))
800790, 791, 7993eqtrrd 2690 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) = ((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})))
801800oveq1d 6705 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝐹𝑦) / (𝐺𝑦))) lim 𝑌) = (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
802787, 801eleqtrd 2732 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213   mod cmo 12708  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  Clsdccld 20868  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077  Hauscha 21160  –cn→ccncf 22726   limℂ climc 23671   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  40640
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