Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem1 40841
Description: If 𝑌 is a multiple of π then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐵) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are non zero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem1.b 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem1.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4 𝐴 = (𝑌 − π)
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 pire 24430 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10670 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ)
65rexrd 10301 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ*)
71, 6syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 dirkercncflem1.b . . . 4 𝐵 = (𝑌 + π)
92, 4readdcld 10281 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ)
109rexrd 10301 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ*)
118, 10syl5eqel 2843 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
12 pipos 24432 . . . . . 6 0 < π
13 ltsubpos 10732 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ (𝑌 − π) < 𝑌))
1412, 13mpbii 223 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌 − π) < 𝑌)
154, 2, 14syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 − π) < 𝑌)
161, 15syl5eqbr 4839 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝑌)
17 ltaddpos 10730 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ 𝑌 < (𝑌 + π)))
1812, 17mpbii 223 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 < (𝑌 + π))
194, 2, 18syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝑌 < (𝑌 + π))
2019, 8syl6breqr 4846 . . 3 (𝜑𝑌 < 𝐵)
217, 11, 2, 16, 20eliood 40241 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22 eldifi 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2322elioored 40297 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
2524recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 2cnd 11305 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
27 picn 24431 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
29 2ne0 11325 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
313, 12gt0ne0ii 10776 . . . . . . . . 9 π ≠ 0
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
3325, 26, 28, 30, 32divdiv1d 11044 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
35 2rp 12050 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
37 pirp 24433 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
3936, 38rpmulcld 12101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
40 mod0 12889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
412, 39, 40syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4234, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
43 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4544ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4644zred 11694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
4746adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
481, 5syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4948, 39rerpdivcld 12116 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5049adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5139rpred 12085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
5339rpne0d 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ≠ 0)
5524, 52, 54redivcld 11065 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5651recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5756, 53dividd 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · π) / (2 · π)) = 1)
5857eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = ((2 · π) / (2 · π)))
5958oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
602recnd 10280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
6160, 56, 56, 53divsubdird 11052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
6259, 61eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)))
632, 51resubcld 10670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) ∈ ℝ)
6427mulid2i 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = π
6564eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (1 · π)
66 1lt2 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
67 1re 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
68 2re 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
6967, 68, 3, 12ltmul1ii 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 < 2 ↔ (1 · π) < (2 · π))
7066, 69mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) < (2 · π)
7165, 70eqbrtri 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π < (2 · π)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π < (2 · π))
734, 51, 2, 72ltsub2dd 10852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < (𝑌 − π))
7473, 1syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < 𝐴)
7563, 48, 39, 74ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) < (𝐴 / (2 · π)))
7662, 75eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
7776adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
7848adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ)
7939adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ+)
8022adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
817adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83 elioo2 12429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
8481, 82, 83syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
8580, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
8685simp2d 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 < 𝑦)
8778, 24, 79, 86ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8847, 50, 55, 77, 87lttrd 10410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
8988adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
9023ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
912ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
9239ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
93 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
9490, 91, 92, 93ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝑌 / (2 · π)))
9560, 56, 53divcld 11013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
97 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
9896, 97npcand 10608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1) = (𝑌 / (2 · π)))
9998eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
10099adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
10194, 100breqtrd 4830 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
102 btwnnz 11665 . . . . . . . . 9 ((((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10345, 89, 101, 102syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10442ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
1052ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
10624adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
10779adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
10824adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
1092ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
110 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
111 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦𝑌)
112111necomd 2987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑌𝑦)
113112ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑌𝑦)
114108, 109, 110, 113leneltd 10403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
115114stoic1a 1846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ 𝑦𝑌)
116105, 106ltnled 10396 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑌))
117115, 116mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 < 𝑦)
118105, 106, 107, 117ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
1198, 9syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
120119, 39rerpdivcld 12116 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
121120adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
1222, 39rerpdivcld 12116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
123122adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
124 1red 10267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 10281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) + 1) ∈ ℝ)
126119adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ)
12785simp3d 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 < 𝐵)
12824, 126, 79, 127ltdiv1dd 12142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐵 / (2 · π)))
1298oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π))
13027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
13160, 130, 56, 53divdird 11051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
1324, 39rerpdivcld 12116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π / (2 · π)) ∈ ℝ)
133 1red 10267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
134 2cn 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
135134, 27mulcomi 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) = (π · 2)
136135oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π / (2 · π)) = (π / (π · 2))
13727, 31pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
138 2cnne0 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
139 divdiv1 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π ∈ ℂ ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / π) / 2) = (π / (π · 2)))
14027, 137, 138, 139mp3an 1573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π / π) / 2) = (π / (π · 2))
14127, 31dividi 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π / π) = 1
142141oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
143136, 140, 1423eqtr2i 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / (2 · π)) = (1 / 2)
144 halflt1 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) < 1
145143, 144eqbrtri 4825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / (2 · π)) < 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π / (2 · π)) < 1)
147132, 133, 122, 146ltadd2dd 10408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
148131, 147eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
149129, 148syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
150149adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
15155, 121, 125, 128, 150lttrd 10410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
152151adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
153 btwnnz 11665 . . . . . . . . 9 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
154104, 118, 152, 153syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
155103, 154pm2.61dan 867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
15633, 155eqneltrd 2858 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
15725halfcld 11489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
158 sineq0 24493 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
159157, 158syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
160156, 159mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
161160neqned 2939 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
16233oveq1d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
16342adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
1641a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 = (𝑌 − π))
165164oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + π) = ((𝑌 − π) + π))
16660, 130npcand 10608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − π) + π) = 𝑌)
167165, 166eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 = (𝐴 + π))
168167oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 + π) / (2 · π)))
16948recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
170169, 130, 56, 53divdird 11051 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + π) / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
171130mulid1d 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · 1) = π)
172171eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π = (π · 1))
173 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
174173, 130mulcomd 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · π) = (π · 2))
175172, 174oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π / (2 · π)) = ((π · 1) / (π · 2)))
176 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ≠ 0)
179176, 173, 130, 177, 178divcan5d 11039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((π · 1) / (π · 2)) = (1 / 2))
180175, 179eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π / (2 · π)) = (1 / 2))
181180oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
182168, 170, 1813eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
183182adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
184124rehalfcld 11491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
18550, 55, 184, 87ltadd1dd 10850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
186183, 185eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
18755, 121, 184, 128ltadd1dd 10850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)))
188129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π)))
189188oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)))
190180oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
191131, 190eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
192191oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193176halfcld 11489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
19495, 193, 193addassd 10274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
1951762halvesd 11490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196195oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
197194, 196eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
198189, 192, 1973eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
199198adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
200187, 199breqtrd 4830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
201 btwnnz 11665 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
202163, 186, 200, 201syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
203162, 202eqneltrd 2858 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
204 coseq0 40596 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
205157, 204syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
206203, 205mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (cos‘(𝑦 / 2)) = 0)
207206neqned 2939 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
208161, 207jca 555 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
209208ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
21021, 209jca 555 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cdif 3712  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  2c2 11282  cz 11589  +crp 12045  (,)cioo 12388   mod cmo 12882  sincsin 15013  cosccos 15014  πcpi 15016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  40843
  Copyright terms: Public domain W3C validator