Theorem dipsubdir 28043

Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipsubdir.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
ipsubdir.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipsubdir	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ 𝑋))
2		phnv 28009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 11326	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ipsubdir.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		eqid 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
6	4, 5	nvscl 27821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7	3, 6	mp3an2 1560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
8	2, 7	sylan 569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
9	8	ex 397	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐵 ∈ 𝑋 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋))
10		idd 24	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → (𝐶 ∈ 𝑋 → 𝐶 ∈ 𝑋))
11	1, 9, 10	3anim123d 1554	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)))
12	11	imp 393	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
13		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
14		ipsubdir.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	4, 13, 14	dipdir 28037	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
16	12, 15	syldan 579	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
17		ipsubdir.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
18	4, 13, 5, 17	nvmval 27837	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
19	2, 18	syl3an1 1166	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
20	19	3adant3r3 1199	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	20	oveq1d 6808	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))𝑃𝐶))
22	4, 5, 14	dipass 28040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
23	3, 22	mp3anr1 1569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = (-1 · (𝐵𝑃𝐶)))
24	4, 14	dipcl 27907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
25	24	3expb 1113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
26	2, 25	sylan 569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
27	26	mulm1d 10684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (-1 · (𝐵𝑃𝐶)) = -(𝐵𝑃𝐶))
28	23, 27	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
29	28	3adantr1 1174	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶) = -(𝐵𝑃𝐶))
30	29	oveq2d 6809	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)))
31	4, 14	dipcl 27907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
32	31	3adant3r2 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
33	24	3adant3r1 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑃𝐶) ∈ ℂ)
34	32, 33	negsubd 10600	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
35	2, 34	sylan 569	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) + -(𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))
36	30, 35	eqtr2d 2806	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐶) + ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐶)))
37	16, 21, 36	3eqtr4d 2815	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵)𝑃𝐶) = ((𝐴𝑃𝐶) − (𝐵𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   − cmin 10468  -cneg 10469  NrmCVeccnv 27779   +_𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·_𝑠OLD cns 27782   −_𝑣 cnsb 27784  ·_𝑖OLDcdip 27895  CPreHil_OLDccphlo 28007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-t1 21339  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ph 28008

This theorem is referenced by:  dipsubdi  28044  siilem1  28046