MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipsubdi 27984
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipsubdir.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipsubdir.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
ipsubdir.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipsubdi ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipsubdi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
213com13 1118 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋))
3 id 22 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
433com12 1117 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋))
5 ipsubdir.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 ipsubdir.3 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
7 ipsubdir.7 . . . . . 6 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
85, 6, 7dipsubdir 27983 . . . . 5 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴)))
94, 8sylan2 492 . . . 4 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴) = ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴)))
109fveq2d 6344 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))))
11 phnv 27949 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
12 simpl 474 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
135, 6nvmcl 27781 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋)
14133com23 1120 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋)
15143adant3r3 1176 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋)
16 simpr3 1214 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → 𝐴𝑋)
175, 7dipcj 27849 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑀𝐶) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)))
1812, 15, 16, 17syl3anc 1463 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)))
1911, 18sylan 489 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑀𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)))
205, 7dipcl 27847 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
21203adant3r1 1174 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
225, 7dipcl 27847 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
23223adant3r2 1175 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
24 cjsub 14059 . . . . . 6 (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) − (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
2521, 23, 24syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) − (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
265, 7dipcj 27849 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
27263adant3r1 1174 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
285, 7dipcj 27849 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
29283adant3r2 1175 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
3027, 29oveq12d 6819 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((∗‘(𝐵𝑃𝐴)) − (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
3125, 30eqtrd 2782 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
3211, 31sylan 489 . . 3 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
3310, 19, 323eqtr3d 2790 . 2 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐶𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
342, 33sylan2 492 1 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑃𝐵) − (𝐴𝑃𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cmin 10429  ccj 14006  NrmCVeccnv 27719  BaseSetcba 27721  𝑣 cnsb 27724  ·𝑖OLDcdip 27835  CPreHilOLDccphlo 27947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-t1 21291  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-grpo 27627  df-gid 27628  df-ginv 27629  df-gdiv 27630  df-ablo 27679  df-vc 27694  df-nv 27727  df-va 27730  df-ba 27731  df-sm 27732  df-0v 27733  df-vs 27734  df-nmcv 27735  df-ims 27736  df-dip 27836  df-ph 27948
This theorem is referenced by:  siilem1  27986  ip2eqi  27992
  Copyright terms: Public domain W3C validator