Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcl 27876
 Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2760 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2760 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2760 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval 27867 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7 fzfid 12966 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8 ax-icn 10187 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
9 elfznn 12563 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11543 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 expcl 13072 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
128, 10, 11sylancr 698 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1312adantl 473 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
141, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27870 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1512, 14sylan2 492 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 10252 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
177, 16fsumcl 14663 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18 4cn 11290 . . . 4 4 ∈ ℂ
19 4ne0 11309 . . . 4 4 ≠ 0
20 divcl 10883 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2118, 19, 20mp3an23 1565 . . 3 𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2217, 21syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
236, 22eqeltrd 2839 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   · cmul 10133   / cdiv 10876  2c2 11262  4c4 11264  ℕ0cn0 11484  ...cfz 12519  ↑cexp 13054  Σcsu 14615  NrmCVeccnv 27748   +𝑣 cpv 27749  BaseSetcba 27750   ·𝑠OLD cns 27751  normCVcnmcv 27754  ·𝑖OLDcdip 27864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-grpo 27656  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-nmcv 27764  df-dip 27865 This theorem is referenced by:  ipf  27877  ipipcj  27879  ip1ilem  27990  ip2i  27992  ipasslem1  27995  ipasslem2  27996  ipasslem4  27998  ipasslem5  27999  ipasslem7  28000  ipasslem8  28001  ipasslem9  28002  ipasslem10  28003  ipasslem11  28004  dipdi  28007  ip2dii  28008  dipassr  28010  dipsubdir  28012  dipsubdi  28013  pythi  28014  siilem1  28015  siilem2  28016  siii  28017  ipblnfi  28020  ip2eqi  28021  htthlem  28083
 Copyright terms: Public domain W3C validator