MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcj 27878
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcj ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2760 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2760 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2760 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 27871 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4))
76fveq2d 6356 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
81, 2, 3, 4, 5ipval2 27871 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
983com23 1121 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 27869 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1110recnd 10260 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
12 neg1cn 11316 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27870 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1412, 13mpan2 709 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1511, 14subcld 10584 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
16 ax-icn 10187 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27870 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1816, 17mpan2 709 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19 negicn 10474 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27870 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2119, 20mpan2 709 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2218, 21subcld 10584 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
23 mulcl 10212 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2416, 22, 23sylancr 698 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2515, 24addcld 10251 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
26 4cn 11290 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
27 4ne0 11309 . . . . . 6 4 ≠ 0
28 cjdiv 14103 . . . . . 6 (((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
2926, 27, 28mp3an23 1565 . . . . 5 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
3025, 29syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
31 4re 11289 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
32 cjre 14078 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘4) = 4
3433oveq2i 6824 . . . . 5 ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4)
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 27868 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3612, 35mpan2 709 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3710, 36resubcld 10650 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 27868 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3916, 38mpan2 709 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 27868 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4119, 40mpan2 709 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4239, 41resubcld 10650 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
43 cjreim 14099 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4437, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
45 submul2 10662 . . . . . . . . 9 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4616, 45mp3an2 1561 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4715, 22, 46syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
481, 2nvcom 27785 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))
4948fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴)))
5049oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2))
511, 2, 3, 4nvdif 27830 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5251oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
5350, 52oveq12d 6831 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
5418, 21negsubdi2d 10600 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))
551, 2, 3, 4nvpi 27831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
56553com23 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
5756eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5857oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
591, 2, 3, 4nvpi 27831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
6059oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
6158, 60oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6254, 61eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6362oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) = (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))))
6453, 63oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6544, 47, 643eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6665oveq1d 6828 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6734, 66syl5eq 2806 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6830, 67eqtrd 2794 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
699, 68eqtr4d 2797 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
707, 69eqtr4d 2797 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  4c4 11264  cexp 13054  ccj 14035  NrmCVeccnv 27748   +𝑣 cpv 27749  BaseSetcba 27750   ·𝑠OLD cns 27751  normCVcnmcv 27754  ·𝑖OLDcdip 27864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-nmcv 27764  df-dip 27865
This theorem is referenced by:  ipipcj  27879  diporthcom  27880  dip0l  27882  ipasslem10  28003  dipdi  28007  dipassr  28010  dipsubdi  28013  siii  28017  hlipcj  28076
  Copyright terms: Public domain W3C validator