Theorem dipassr 28010

Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare dipass 28009). (Contributed by NM, 22-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipass.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipass.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ipass.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipassr	⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))

Proof of Theorem dipassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2		ipass.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		ipass.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		ipass.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
5	2, 3, 4	dipass 28009	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴) = (𝐵 · (𝐶𝑃𝐴)))
6	1, 5	sylan2b 493	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴) = (𝐵 · (𝐶𝑃𝐴)))
7	6	fveq2d 6356	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))))
8		phnv 27978	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
9		simpl 474	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
10	2, 3	nvscl 27790	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
11	10	3adant3r1 1198	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
12		simpr1 1234	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13	2, 4	dipcj 27878	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐵𝑆𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1477	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
15	8, 14	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘((𝐵𝑆𝐶)𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)))
16		simpr2 1236	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	2, 4	dipcl 27876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	17	3com23 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
19	18	3adant3r2 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶𝑃𝐴) ∈ ℂ)
20	16, 19	cjmuld 14160	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (∗‘(𝐶𝑃𝐴))))
21	2, 4	dipcj 27878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
22	21	3com23 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
23	22	3adant3r2 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐶𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐶))
24	23	oveq2d 6829	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((∗‘𝐵) · (∗‘(𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
25	20, 24	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
26	8, 25	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (∗‘(𝐵 · (𝐶𝑃𝐴))) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))
27	7, 15, 26	3eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑃(𝐵𝑆𝐶)) = ((∗‘𝐵) · (𝐴𝑃𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126   · cmul 10133  ∗ccj 14035  NrmCVeccnv 27748  BaseSetcba 27750   ·_𝑠OLD cns 27751  ·_𝑖OLDcdip 27864  CPreHil_OLDccphlo 27976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-t1 21320  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764  df-ims 27765  df-dip 27865  df-ph 27977

This theorem is referenced by:  dipassr2  28011