Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihwN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihwN 37099
Description: Value of isomorphism H at the fiducial hyperplane 𝑊. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihw.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihw.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihw.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihw.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihw.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihw.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dihwN (𝜑 → (𝐼𝑊) = (𝑇 × { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dihwN
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihw.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simprd 483 . . . . 5 (𝜑𝑊𝐻)
3 dihw.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dihw.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
53, 4lhpbase 35807 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊𝐵)
71simpld 482 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
87hllatd 35173 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
9 eqid 2771 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
103, 9latref 17261 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
118, 6, 10syl2anc 573 . . . 4 (𝜑𝑊(le‘𝐾)𝑊)
126, 11jca 501 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝐵𝑊(le‘𝐾)𝑊))
13 dihw.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2771 . . . 4 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
153, 9, 4, 13, 14dihvalb 37047 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊𝐵𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
161, 12, 15syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑊) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊))
17 dihw.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 dihw.o . . . 4 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
19 eqid 2771 . . . 4 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
203, 9, 4, 17, 18, 19, 14dibval2 36954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊𝐵𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
211, 12, 20syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }))
22 eqid 2771 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
233, 9, 4, 17, 22, 19diaval 36842 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑊𝐵𝑊(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
241, 12, 23syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = {𝑔𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
259, 4, 17, 22trlle 35994 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
261, 25sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
2726ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑔𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
28 rabid2 3267 . . . . 5 (𝑇 = {𝑔𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊} ↔ ∀𝑔𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊)
2927, 28sylibr 224 . . . 4 (𝜑𝑇 = {𝑔𝑇 ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)(le‘𝐾)𝑊})
3024, 29eqtr4d 2808 . . 3 (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) = 𝑇)
3130xpeq1d 5278 . 2 (𝜑 → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑊) × { 0 }) = (𝑇 × { 0 }))
3216, 21, 313eqtrd 2809 1 (𝜑 → (𝐼𝑊) = (𝑇 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864   I cid 5157   × cxp 5248  cres 5252  cfv 6030  Basecbs 16064  lecple 16156  Latclat 17253  HLchlt 35159  LHypclh 35793  LTrncltrn 35910  trLctrl 35968  DIsoAcdia 36838  DIsoBcdib 36948  DIsoHcdih 37038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-disoa 36839  df-dib 36949  df-dih 37039
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator