Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihprrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihprrn 37235
Description: The span of a vector pair belongs to the range of isomorphism H i.e. is a closed subspace. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihprrn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihprrn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihprrn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihprrn.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihprrn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihprrn.x (𝜑𝑋𝑉)
dihprrn.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
dihprrn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihprrn
StepHypRef Expression
1 prcom 4411 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
2 preq2 4413 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑌, 𝑋} = {𝑌, (0g𝑈)})
31, 2syl5eq 2806 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, (0g𝑈)})
43fveq2d 6357 . . . 4 (𝑋 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, (0g𝑈)}))
5 dihprrn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝑈) = (0g𝑈)
7 dihprrn.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 dihprrn.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dihprrn.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihprrn.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10dvhlmod 36919 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 dihprrn.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
135, 6, 7, 11, 12lsppr0 19314 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (0g𝑈)}) = (𝑁‘{𝑌}))
144, 13sylan9eqr 2816 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
15 dihprrn.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
168, 9, 5, 7, 15dihlsprn 37140 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1710, 12, 16syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1817adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑋 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
20 preq2 4413 . . . . 5 (𝑌 = (0g𝑈) → {𝑋, 𝑌} = {𝑋, (0g𝑈)})
2120fveq2d 6357 . . . 4 (𝑌 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋, (0g𝑈)}))
22 dihprrn.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
235, 6, 7, 11, 22lsppr0 19314 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (0g𝑈)}) = (𝑁‘{𝑋}))
2421, 23sylan9eqr 2816 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
258, 9, 5, 7, 15dihlsprn 37140 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2610, 22, 25syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2726adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
2824, 27eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑌 = (0g𝑈)) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
2910adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3022adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋𝑉)
3112adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌𝑉)
32 simprl 811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑋 ≠ (0g𝑈))
33 simprr 813 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → 𝑌 ≠ (0g𝑈))
348, 9, 5, 7, 15, 29, 30, 31, 6, 32, 33dihprrnlem2 37234 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g𝑈) ∧ 𝑌 ≠ (0g𝑈))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
3519, 28, 34pm2.61da2ne 3020 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321  {cpr 4323  ran crn 5267  cfv 6049  Basecbs 16079  0gc0g 16322  LSpanclspn 19193  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  DIsoHcdih 37037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204
This theorem is referenced by:  djhlsmat  37236  lclkrlem2v  37337  lcfrlem23  37374
  Copyright terms: Public domain W3C validator