Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord6b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord6b 36068
 Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord3.l = (le‘𝐾)
dihord3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord3.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihord6b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))

Proof of Theorem dihord6b
StepHypRef Expression
1 simp2r 1086 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ¬ 𝑋 𝑊)
2 simp3r 1088 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 𝑊)
3 simp1l 1083 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 34169 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
7 simp3l 1087 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
8 simp1r 1084 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐻)
9 dihord3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihord3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 34803 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐵)
13 dihord3.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
149, 13lattr 16996 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑊) → 𝑋 𝑊))
155, 6, 7, 12, 14syl13anc 1325 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑊) → 𝑋 𝑊))
162, 15mpan2d 709 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌𝑋 𝑊))
171, 16mtod 189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ¬ 𝑋 𝑌)
1817pm2.21d 118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌 → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)))
1918imp 445 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  Basecbs 15800  lecple 15888  Latclat 16985  HLchlt 34156  LHypclh 34789  DIsoHcdih 36036 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-poset 16886  df-lat 16986  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-lhyp 34793 This theorem is referenced by:  dihord  36072
 Copyright terms: Public domain W3C validator