Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatcclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjatcclem1 37228
 Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjatcclem.l = (le‘𝐾)
dihjatcclem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjatcclem.j = (join‘𝐾)
dihjatcclem.m = (meet‘𝐾)
dihjatcclem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjatcclem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.s = (LSSum‘𝑈)
dihjatcclem.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjatcclem.v 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
dihjatcclem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjatcclem.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dihjatcclem.q (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dihjatcclem1
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dihjatcclem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dihjatcclem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 36920 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lmodabl 19133 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
7 eqid 2761 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
87lsssssubg 19181 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
10 dihjatcclem.p . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
1110simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐴)
12 dihjatcclem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 dihjatcclem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1412, 13atbase 35098 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1511, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃𝐵)
16 dihjatcclem.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
1712, 1, 16, 2, 7dihlss 37060 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐵) → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
183, 15, 17syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
199, 18sseldd 3746 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈))
20 dihjatcclem.v . . . . . 6 𝑉 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
213simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ HL)
22 hllat 35172 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
24 dihjatcclem.q . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
2524simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
26 dihjatcclem.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
2712, 26, 13hlatjcl 35175 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
2821, 11, 25, 27syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
293simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
3012, 1lhpbase 35806 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝐵)
32 dihjatcclem.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3312, 32latmcl 17274 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
3423, 28, 31, 33syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
3520, 34syl5eqel 2844 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐵)
3612, 1, 16, 2, 7dihlss 37060 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
373, 35, 36syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑈))
389, 37sseldd 3746 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))
3912, 13atbase 35098 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
4025, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑄𝐵)
4112, 1, 16, 2, 7dihlss 37060 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
423, 40, 41syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
439, 42sseldd 3746 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
44 dihjatcclem.s . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
4544lsm4 18484 . . 3 ((𝑈 ∈ Abel ∧ ((𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈)) ∧ ((𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈))) → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))))
466, 19, 38, 43, 38, 45syl122anc 1486 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))))
4724simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑄 𝑊)
4847intnand 1000 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑃 𝑊𝑄 𝑊))
49 dihjatcclem.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
5012, 49, 26latjle12 17284 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
5123, 15, 40, 31, 50syl13anc 1479 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
5248, 51mtbid 313 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊)
5349, 26, 13hlatlej1 35183 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
5421, 11, 25, 53syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑𝑃 (𝑃 𝑄))
5512, 49, 26, 32, 13, 1, 16, 2, 44dihvalcq2 37057 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑄))) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
563, 28, 52, 10, 54, 55syl122anc 1486 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
5720fveq2i 6357 . . . . . 6 (𝐼𝑉) = (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))
5857oveq2i 6826 . . . . 5 ((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑃) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)))
5956, 58syl6eqr 2813 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)))
6049, 26, 13hlatlej2 35184 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄 (𝑃 𝑄))
6121, 11, 25, 60syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑𝑄 (𝑃 𝑄))
6212, 49, 26, 32, 13, 1, 16, 2, 44dihvalcq2 37057 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑄 (𝑃 𝑄))) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
633, 28, 52, 24, 61, 62syl122anc 1486 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊))))
6457oveq2i 6826 . . . . 5 ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉)) = ((𝐼𝑄) (𝐼‘((𝑃 𝑄) 𝑊)))
6563, 64syl6eqr 2813 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉)))
6659, 65oveq12d 6833 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))))
6712, 1, 16, 2, 7dihlss 37060 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
683, 28, 67syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
699, 68sseldd 3746 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
7044lsmidm 18298 . . . 4 ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7169, 70syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑃 𝑄)) (𝐼‘(𝑃 𝑄))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7266, 71eqtr3d 2797 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑉)) ((𝐼𝑄) (𝐼𝑉))) = (𝐼‘(𝑃 𝑄)))
7344lsmidm 18298 . . . 4 ((𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉)) = (𝐼𝑉))
7438, 73syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉)) = (𝐼𝑉))
7574oveq2d 6831 . 2 (𝜑 → (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) ((𝐼𝑉) (𝐼𝑉))) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
7646, 72, 753eqtr3d 2803 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) (𝐼𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ⊆ wss 3716   class class class wbr 4805  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  joincjn 17166  meetcmee 17167  Latclat 17267  SubGrpcsubg 17810  LSSumclsm 18270  Abelcabl 18415  LModclmod 19086  LSubSpclss 19155  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  DIsoHcdih 37038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-riotaBAD 34761 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-undef 7570  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-0g 16325  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-lsm 18272  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lvec 19326  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039 This theorem is referenced by:  dihjatcclem2  37229
 Copyright terms: Public domain W3C validator