Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjat1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjat1lem 37237
Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 35660 analog.) TODO: merge into dihjat1 37238? (Contributed by NM, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjat1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjat1.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.o 0 = (0g𝑈)
dihjat1lem.q (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dihjat1lem (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1lem
Dummy variables 𝑦 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 = { 0 }) → 𝑋 = { 0 })
21oveq1d 6829 . . 3 ((𝜑𝑋 = { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})))
31oveq1d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑋 = { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})))
4 dihjat1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dihjat1.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dihjat1.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
7 dihjat1.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihjat1.j . . . . . . 7 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9 dihjat1.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 dihjat1lem.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 eldifi 3875 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑇𝑉)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝑉)
13 dihjat1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 dihjat1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
154, 5, 13, 14, 7dihlsprn 37140 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
169, 12, 15syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ ran 𝐼)
174, 5, 6, 7, 8, 9, 16djh02 37222 . . . . . 6 (𝜑 → ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
184, 5, 9dvhlmod 36919 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
19 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2013, 19, 14lspsncl 19199 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2118, 12, 20syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2219lsssubg 19179 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
2318, 21, 22syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
24 dihjat1.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝑈)
256, 24lsm02 18305 . . . . . . 7 ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (SubGrp‘𝑈) → ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
2623, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})) = (𝑁‘{𝑇}))
2717, 26eqtr4d 2797 . . . . 5 (𝜑 → ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})))
2827adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 = { 0 }) → ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})))
293, 28eqtr4d 2797 . . 3 ((𝜑𝑋 = { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = ({ 0 } (𝑁‘{𝑇})))
302, 29eqtr4d 2797 . 2 ((𝜑𝑋 = { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))
3118adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) → 𝑈 ∈ LMod)
32 dihjat1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
334, 5, 7, 13dihrnss 37087 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋𝑉)
349, 32, 33syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
3513, 19lssss 19159 . . . . . . . 8 ((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
3621, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
374, 7, 5, 13, 8djhcl 37209 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
389, 34, 36, 37syl12anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
394, 5, 7, 13dihrnss 37087 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
409, 38, 39syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
4140adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ⊆ 𝑉)
424, 5, 7, 19dihrnlss 37086 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
439, 32, 42syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
4419, 24lsmcl 19305 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4518, 43, 21, 44syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4645adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
47 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ { 0 })
489ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4932ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
50 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5110ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
524, 5, 13, 6, 14, 7, 8, 48, 49, 50, 51djhcvat42 37224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑋 ≠ { 0 } ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇})))))
5347, 52mpand 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇})))))
54 simprrl 823 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋)
5518ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑈 ∈ LMod)
5643ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
57 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑦𝑉)
5857ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦𝑉)
5913, 19, 14, 55, 56, 58lspsnel5 19217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦𝑋 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋))
6054, 59mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑦𝑋)
6112ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇𝑉)
6213, 14lspsnid 19215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
6355, 61, 62syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
64 simprrr 824 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇})))
65 sneq 4331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑇 → {𝑧} = {𝑇})
6665fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑇 → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑇}))
6766oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇})))
6867sseq2d 3774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑇 → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))
6968rspcev 3449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑇}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
7063, 64, 69syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
7160, 70jca 555 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) ∧ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))))) → (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
7271ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ ((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇})))) → (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
7372reximdv2 3152 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })((𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑇}))) → ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
7453, 73syld 47 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) → ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
7574anim2d 590 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝑥𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇}))) → (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
764, 5, 7, 19dihrnlss 37086 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
779, 38, 76syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7813, 19, 14, 18, 77lspsnel6 19216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))))
7978ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))))
8013, 19, 24, 14, 18, 43, 21lsmelval2 19307 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
819ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8243ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
83 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦𝑋)
8413, 19lssel 19160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑉)
8582, 83, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑦𝑉)
8621ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → (𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
87 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇}))
8813, 19lssel 19160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧𝑉)
8986, 87, 88syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑧𝑉)
904, 5, 13, 24, 14, 7, 8, 81, 85, 89djhlsmat 37236 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) = ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))
9190sseq2d 3774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
9291rexbidva 3187 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
9392rexbidva 3187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})) ↔ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))))
9493anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
9580, 94bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
9695ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ↔ (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑋𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑇})(𝑁‘{𝑥}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) (𝑁‘{𝑧})))))
9775, 79, 963imtr4d 283 . . . 4 (((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑋 (𝑁‘{𝑇}))))
9813, 6, 19, 31, 41, 46, 97lssssr 19175 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))
994, 5, 13, 24, 8, 9, 34, 36djhsumss 37216 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))
10099adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))
10198, 100eqssd 3761 . 2 ((𝜑𝑋 ≠ { 0 }) → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))
10230, 101pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → (𝑋 (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 (𝑁‘{𝑇})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  0gc0g 16322  SubGrpcsubg 17809  LSSumclsm 18269  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  DIsoHcdih 37037  joinHcdjh 37203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204
This theorem is referenced by:  dihjat1  37238
  Copyright terms: Public domain W3C validator