Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjat 37248
Description: Isomorphism H of lattice join of two atoms. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat.j = (join‘𝐾)
dihjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat.s = (LSSum‘𝑈)
dihjat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihjat.p (𝜑𝑃𝐴)
dihjat.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
dihjat (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))

Proof of Theorem dihjat
StepHypRef Expression
1 eqid 2774 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 dihjat.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dihjat.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 dihjat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dihjat.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dihjat.s . . 3 = (LSSum‘𝑈)
7 dihjat.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihjat.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
98adantr 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 dihjat.p . . . . 5 (𝜑𝑃𝐴)
1110adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃𝐴)
12 simprl 776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
1311, 12jca 502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃𝐴𝑃(le‘𝐾)𝑊))
14 dihjat.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
1514adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄𝐴)
16 simprr 778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
1715, 16jca 502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 17dihjatb 37241 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
19 eqid 2774 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
208adantr 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2119, 4atbase 35113 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2210, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2322adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
24 simprl 776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
2523, 24jca 502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
2614adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄𝐴)
27 simprr 778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
2826, 27jca 502 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
2919, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 28dihjatc 37242 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
308adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3119, 4atbase 35113 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3214, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3332adantr 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
34 simprr 778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
3533, 34jca 502 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
3610adantr 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃𝐴)
37 simprl 776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
3836, 37jca 502 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
3919, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 30, 35, 38dihjatc 37242 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑄 𝑃)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑃)))
408simpld 483 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
413, 4hlatjcom 35192 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
4240, 10, 14, 41syl3anc 1480 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
4342fveq2d 6352 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (𝐼‘(𝑄 𝑃)))
4443adantr 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = (𝐼‘(𝑄 𝑃)))
452, 5, 8dvhlmod 36935 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
46 lmodabl 19140 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
48 eqid 2774 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4948lsssssubg 19191 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
5045, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
5119, 2, 7, 5, 48dihlss 37075 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
528, 22, 51syl2anc 574 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5350, 52sseldd 3759 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈))
5419, 2, 7, 5, 48dihlss 37075 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
558, 32, 54syl2anc 574 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5650, 55sseldd 3759 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
576lsmcom 18488 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐼𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑃)))
5847, 53, 56, 57syl3anc 1480 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑃)))
5958adantr 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)) = ((𝐼𝑄) (𝐼𝑃)))
6039, 44, 593eqtr4d 2818 . 2 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
618adantr 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6210adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃𝐴)
63 simprl 776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
6462, 63jca 502 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
6514adantr 467 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄𝐴)
66 simprr 778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
6765, 66jca 502 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 61, 64, 67dihjatcc 37247 . 2 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
6918, 29, 60, 684casesdan 1053 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 𝑄)) = ((𝐼𝑃) (𝐼𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  wss 3729   class class class wbr 4797  cfv 6042  (class class class)co 6812  Basecbs 16084  lecple 16176  joincjn 17172  SubGrpcsubg 17816  LSSumclsm 18276  Abelcabl 18421  LModclmod 19093  LSubSpclss 19162  Atomscatm 35087  HLchlt 35174  LHypclh 35808  DVecHcdvh 36903  DIsoHcdih 37053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-riotaBAD 34776
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-tpos 7525  df-undef 7572  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-0g 16330  df-preset 17156  df-poset 17174  df-plt 17186  df-lub 17202  df-glb 17203  df-join 17204  df-meet 17205  df-p0 17267  df-p1 17268  df-lat 17274  df-clat 17336  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-submnd 17564  df-grp 17653  df-minusg 17654  df-sbg 17655  df-subg 17819  df-cntz 17977  df-lsm 18278  df-cmn 18422  df-abl 18423  df-mgp 18718  df-ur 18730  df-ring 18777  df-oppr 18851  df-dvdsr 18869  df-unit 18870  df-invr 18900  df-dvr 18911  df-drng 18979  df-lmod 19095  df-lss 19163  df-lsp 19205  df-lvec 19336  df-lsatoms 34800  df-oposet 35000  df-ol 35002  df-oml 35003  df-covers 35090  df-ats 35091  df-atl 35122  df-cvlat 35146  df-hlat 35175  df-llines 35322  df-lplanes 35323  df-lvols 35324  df-lines 35325  df-psubsp 35327  df-pmap 35328  df-padd 35620  df-lhyp 35812  df-laut 35813  df-ldil 35928  df-ltrn 35929  df-trl 35984  df-tgrp 36568  df-tendo 36580  df-edring 36582  df-dveca 36828  df-disoa 36854  df-dvech 36904  df-dib 36964  df-dic 36998  df-dih 37054  df-doch 37173  df-djh 37220
This theorem is referenced by:  dihprrnlem2  37250
  Copyright terms: Public domain W3C validator