Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihintcl 37133
 Description: The intersection of closed subspaces (the range of isomorphism H) is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihintcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihintcl.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihintcl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihintcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 dihintcl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dihintcl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3dihfn 37057 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
51, 2, 3dihdm 37058 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
65fneq2d 6141 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼 Fn dom 𝐼𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
74, 6mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
87adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9 cnvimass 5641 . . . . 5 (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼
10 fnssres 6163 . . . . 5 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐼𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆))
118, 9, 10sylancl 697 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆))
12 fniinfv 6417 . . . 4 ((𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) Fn (𝐼𝑆) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)))
1311, 12syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)))
14 df-ima 5277 . . . . 5 (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆))
154adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
16 dffn4 6280 . . . . . . 7 (𝐼 Fn (Base‘𝐾) ↔ 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
1715, 16sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
18 simprl 811 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
19 foimacnv 6313 . . . . . 6 ((𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2017, 18, 19syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2114, 20syl5eqr 2806 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2221inteqd 4630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (𝐼𝑆)) = 𝑆)
2313, 22eqtrd 2792 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = 𝑆)
24 simpl 474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
255adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
269, 25syl5sseq 3792 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
27 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
28 n0 4072 . . . . . . 7 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑆)
2927, 28sylib 208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦𝑆)
3018sselda 3742 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
3125fneq2d 6141 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 Fn dom 𝐼𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
3215, 31mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
3332adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34 fvelrnb 6403 . . . . . . . . 9 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦))
3630, 35mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦)
37 fnfun 6147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 Fn (Base‘𝐾) → Fun 𝐼)
3815, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
39 fvimacnv 6493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐼𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑥 ∈ (𝐼𝑆)))
4038, 39sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑥 ∈ (𝐼𝑆)))
41 ne0i 4062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼𝑆) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
4240, 41syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))
4342ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
44 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆))
4544biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
4645imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅) → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
4743, 46syl9 77 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦𝑆 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))))
4847com24 95 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))))
4948imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅)))
5049rexlimdv 3166 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼𝑥) = 𝑦 → (𝐼𝑆) ≠ ∅))
5136, 50mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
5229, 51exlimddv 2010 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼𝑆) ≠ ∅)
53 eqid 2758 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
541, 53, 2, 3dihglb 37130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦))
5524, 26, 52, 54syl12anc 1475 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦))
56 fvres 6366 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐼𝑆) → ((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = (𝐼𝑦))
5756iineq2i 4690 . . . 4 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)(𝐼𝑦)
5855, 57syl6eqr 2810 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) = 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦))
59 hlclat 35146 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
6059ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
611, 53clatglbcl 17313 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
6260, 26, 61syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
631, 2, 3dihcl 37059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) ∈ ran 𝐼)
6462, 63syldan 488 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(𝐼𝑆))) ∈ ran 𝐼)
6558, 64eqeltrrd 2838 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ (𝐼𝑆)((𝐼 ↾ (𝐼𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
6623, 65eqeltrrd 2838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ran 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2137   ≠ wne 2930  ∃wrex 3049   ⊆ wss 3713  ∅c0 4056  ∩ cint 4625  ∩ ciin 4671  ◡ccnv 5263  dom cdm 5264  ran crn 5265   ↾ cres 5266   “ cima 5267  Fun wfun 6041   Fn wfn 6042  –onto→wfo 6045  ‘cfv 6047  Basecbs 16057  glbcglb 17142  CLatccla 17306  HLchlt 35138  LHypclh 35771  DIsoHcdih 37017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-riotaBAD 34740 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-undef 7566  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-0g 16302  df-preset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-lsm 18249  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-drng 18949  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19172  df-lvec 19303  df-lsatoms 34764  df-oposet 34964  df-ol 34966  df-oml 34967  df-covers 35054  df-ats 35055  df-atl 35086  df-cvlat 35110  df-hlat 35139  df-llines 35285  df-lplanes 35286  df-lvols 35287  df-lines 35288  df-psubsp 35290  df-pmap 35291  df-padd 35583  df-lhyp 35775  df-laut 35776  df-ldil 35891  df-ltrn 35892  df-trl 35947  df-tendo 36543  df-edring 36545  df-disoa 36818  df-dvech 36868  df-dib 36928  df-dic 36962  df-dih 37018 This theorem is referenced by:  doch2val2  37153  dochocss  37155
 Copyright terms: Public domain W3C validator