Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem6 36148
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem6.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem6.l = (le‘𝐾)
dihglblem6.m = (meet‘𝐾)
dihglblem6.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihglblem6.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem6.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem6.s 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
dihglblem6.d 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihglblem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dihglblem6
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem6.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihglblem6.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 eqid 2621 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4 dihglblem6.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
5 dihglblem6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 eqid 2621 . . . 4 {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)} = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣(meet‘𝐾)𝑊)}
7 eqid 2621 . . . 4 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8 dihglblem6.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dihglblem4 36105 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
10 fal 1487 . . . . 5 ¬ ⊥
11 dihglblem6.s . . . . . . . 8 𝑃 = (LSubSp‘𝑈)
12 dihglblem6.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LSAtoms‘𝑈)
13 dihglblem6.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14 simpll 789 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
155, 13, 14dvhlmod 35918 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → 𝑈 ∈ LMod)
16 simplll 797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → 𝐾 ∈ HL)
17 hlclat 34164 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → 𝐾 ∈ CLat)
19 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → 𝑆𝐵)
201, 4clatglbcl 17054 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
2118, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
221, 5, 8, 13, 11dihlss 36058 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∈ 𝑃)
2314, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) ∈ 𝑃)
241, 4, 5, 13, 8, 11dihglblem5 36106 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑃)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑃)
26 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
2711, 12, 15, 23, 25, 26lpssat 33819 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)) → ∃𝑝𝐷 (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))))
2827ex 450 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → ∃𝑝𝐷 (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))))
29 simp1l 1083 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
305, 13, 8, 12dih1dimat 36138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
3130adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
32313adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → 𝑝 ∈ ran 𝐼)
335, 8dihcnvid2 36081 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑝)) = 𝑝)
3429, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (𝐼‘(𝐼𝑝)) = 𝑝)
35 simp3l 1087 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → 𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
36 ssiin 4543 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼𝑥))
3735, 36sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → ∀𝑥𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼𝑥))
38 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
39 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
401, 5, 8, 13, 11dihf11 36075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑃)
41 f1f1orn 6115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼:𝐵1-1𝑃𝐼:𝐵1-1-onto→ran 𝐼)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → 𝐼:𝐵1-1-onto→ran 𝐼)
43 f1ocnvdm 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼:𝐵1-1-onto→ran 𝐼𝑝 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑝) ∈ 𝐵)
4442, 31, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → (𝐼𝑝) ∈ 𝐵)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐼𝑝) ∈ 𝐵)
46 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → 𝑆𝐵)
4746sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
481, 2, 5, 8dihord 36072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑝) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝐼‘(𝐼𝑝)) ⊆ (𝐼𝑥) ↔ (𝐼𝑝) 𝑥))
4938, 45, 47, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼‘(𝐼𝑝)) ⊆ (𝐼𝑥) ↔ (𝐼𝑝) 𝑥))
5039, 31, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → (𝐼‘(𝐼𝑝)) = 𝑝)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐼‘(𝐼𝑝)) = 𝑝)
5251sseq1d 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼‘(𝐼𝑝)) ⊆ (𝐼𝑥) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐼𝑥)))
5349, 52bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼𝑝) 𝑥𝑝 ⊆ (𝐼𝑥)))
5453ralbidva 2981 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷) → (∀𝑥𝑆 (𝐼𝑝) 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼𝑥)))
55543adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (∀𝑥𝑆 (𝐼𝑝) 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑆 𝑝 ⊆ (𝐼𝑥)))
5637, 55mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑝) 𝑥)
57 simp1ll 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → 𝐾 ∈ HL)
5857, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → 𝐾 ∈ CLat)
59443adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (𝐼𝑝) ∈ 𝐵)
60 simp1rl 1124 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → 𝑆𝐵)
611, 2, 4clatleglb 17066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑝) ∈ 𝐵𝑆𝐵) → ((𝐼𝑝) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑝) 𝑥))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → ((𝐼𝑝) (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑝) 𝑥))
6356, 62mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (𝐼𝑝) (𝐺𝑆))
6458, 60, 20syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
651, 2, 5, 8dihord 36072 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑝) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘(𝐼𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝐼𝑝) (𝐺𝑆)))
6629, 59, 64, 65syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → ((𝐼‘(𝐼𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝐼𝑝) (𝐺𝑆)))
6763, 66mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → (𝐼‘(𝐼𝑝)) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))
6834, 67eqsstr3d 3625 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))
69 simp3r 1088 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))
7068, 69pm2.21fal 1502 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑝𝐷 ∧ (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))) → ⊥)
7170rexlimdv3a 3028 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑝𝐷 (𝑝 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑝 ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))) → ⊥))
7228, 71syld 47 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → ⊥))
7310, 72mtoi 190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → ¬ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
74 dfpss3 3677 . . . . . 6 ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))))
7574notbii 310 . . . . 5 (¬ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))))
76 iman 440 . . . . 5 (((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))) ↔ ¬ ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ ¬ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))))
77 anclb 569 . . . . 5 (((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))) ↔ ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))))
7875, 76, 773bitr2i 288 . . . 4 (¬ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊊ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))))
7973, 78sylib 208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆)))))
809, 79mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))))
81 eqss 3603 . 2 ((𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ((𝐼‘(𝐺𝑆)) ⊆ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∧ 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ⊆ (𝐼‘(𝐺𝑆))))
8280, 81sylibr 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wfal 1485  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  wss 3560  wpss 3561  c0 3897   ciin 4493   class class class wbr 4623  ccnv 5083  ran crn 5085  1-1wf1 5854  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  lecple 15888  glbcglb 16883  meetcmee 16885  CLatccla 17047  LSubSpclss 18872  LSAtomsclsa 33780  Atomscatm 34069  HLchlt 34156  LHypclh 34789  DVecHcdvh 35886  DIsoBcdib 35946  DIsoHcdih 36036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-riotaBAD 33758
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-undef 7359  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043  df-lsatoms 33782  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tendo 35562  df-edring 35564  df-disoa 35837  df-dvech 35887  df-dib 35947  df-dic 35981  df-dih 36037
This theorem is referenced by:  dihglb  36149
  Copyright terms: Public domain W3C validator