Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem2aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem2aN 36899
 Description: Lemma for isomorphism H of a GLB. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
Assertion
Ref Expression
dihglblem2aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2aN
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.t . . 3 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
21a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
3 simprr 811 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
4 n0 3964 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝑆)
53, 4sylib 208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑧 𝑧𝑆)
6 hllat 34968 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
76ad3antrrr 766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
8 simplrl 817 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑆𝐵)
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
108, 9sseldd 3637 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
11 dihglblem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 dihglblem.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
1311, 12lhpbase 35602 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1413ad3antlr 767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑊𝐵)
15 dihglblem.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
1611, 15latmcl 17099 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑊𝐵) → (𝑧 𝑊) ∈ 𝐵)
177, 10, 14, 16syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧 𝑊) ∈ 𝐵)
18 eqidd 2652 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧 𝑊) = (𝑧 𝑊))
19 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 𝑊) = (𝑧 𝑊))
2019eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊) ↔ (𝑧 𝑊) = (𝑧 𝑊)))
2120rspcev 3340 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ∧ (𝑧 𝑊) = (𝑧 𝑊)) → ∃𝑣𝑆 (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊))
229, 18, 21syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → ∃𝑣𝑆 (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊))
23 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑧 𝑊) ∈ V
24 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑧 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ↔ (𝑧 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}))
25 eqeq1 2655 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑧 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
2625rexbidv 3081 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑧 𝑊) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) ↔ ∃𝑣𝑆 (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
2726elrab 3396 . . . . . . 7 ((𝑧 𝑊) ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ↔ ((𝑧 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣𝑆 (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊)))
2824, 27syl6bb 276 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑧 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ↔ ((𝑧 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣𝑆 (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊))))
2923, 28spcev 3331 . . . . 5 (((𝑧 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣𝑆 (𝑧 𝑊) = (𝑣 𝑊)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
3017, 22, 29syl2anc 694 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
31 n0 3964 . . . 4 ({𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)})
3230, 31sylibr 224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧𝑆) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ≠ ∅)
335, 32exlimddv 1903 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ≠ ∅)
342, 33eqnetrd 2890 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  {crab 2945   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  glbcglb 16990  meetcmee 16992  Latclat 17092  HLchlt 34955  LHypclh 35588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-lat 17093  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592 This theorem is referenced by:  dihglblem3N  36901
 Copyright terms: Public domain W3C validator