Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatexv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatexv2 36945
 Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv2.o 0 = (0g𝑈)
dihatexv2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
dihatexv2 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv2
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 dihatexv2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atbase 34894 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
43anim2i 592 . 2 ((𝜑𝑄𝐴) → (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
5 dihatexv2.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑉)
8 dihatexv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 dihatexv2.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dihatexv2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 dihatexv2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12 dihatexv2.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
138, 9, 10, 11, 12dihlsprn 36937 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
145, 7, 13syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
151, 8, 12dihcnvcl 36877 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
166, 14, 15syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
17 eleq1a 2725 . . . . 5 ((𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾) → (𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
1918rexlimdva 3060 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
2019imdistani 726 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) → (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)))
21 dihatexv2.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
225adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
241, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23dihatexv 36944 . . 3 ((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
2522adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2622, 7, 13syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼)
278, 12dihcnvid2 36879 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
2825, 26, 27syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) = (𝑁‘{𝑥}))
2928eqeq2d 2661 . . . . 5 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
30 simplr 807 . . . . . 6 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3125, 26, 15syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾))
321, 8, 12dih11 36871 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
3325, 30, 31, 32syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))) ↔ 𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
3429, 33bitr3d 270 . . . 4 (((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ 𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
3534rexbidva 3078 . . 3 ((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
3624, 35bitrd 268 . 2 ((𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
374, 20, 36pm5.21nd 961 1 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ◡ccnv 5142  ran crn 5144  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  LSpanclspn 19019  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  DIsoHcdih 36834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835 This theorem is referenced by:  djhcvat42  37021
 Copyright terms: Public domain W3C validator