Theorem dih2dimb 37054

Description: Extend dib2dim 37053 to isomorphism H. (Contributed by NM, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih2dimb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih2dimb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dih2dimb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dih2dimb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih2dimb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dih2dimb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih2dimb.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dih2dimb.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dih2dimb	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dih2dimb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih2dimb.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dih2dimb.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		dih2dimb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		dih2dimb.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dih2dimb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dih2dimb.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		eqid 2771	. . 3 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8		dih2dimb.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dih2dimb.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		dih2dimb.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dib2dim 37053	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
12	8	simpld 482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13	9	simpld 482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
14	10	simpld 482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
15		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16	15, 2, 3	hlatjcl 35175	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
18	9	simprd 483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
19	10	simprd 483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
20		hllat 35172	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	12, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
22	15, 3	atbase 35098	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
23	13, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
24	15, 3	atbase 35098	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
25	14, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
26	8	simprd 483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
27	15, 4	lhpbase 35806	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
29	15, 1, 2	latjle12 17270	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
30	21, 23, 25, 28, 29	syl13anc 1478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
31	18, 19, 30	mpbi2and 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
32		dih2dimb.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
33	15, 1, 4, 32, 7	dihvalb 37047	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
34	8, 17, 31, 33	syl12anc 1474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
35	15, 1, 4, 32, 7	dihvalb 37047	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
36	8, 23, 18, 35	syl12anc 1474	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
37	15, 1, 4, 32, 7	dihvalb 37047	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
38	8, 25, 19, 37	syl12anc 1474	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
39	36, 38	oveq12d 6811	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
40	11, 34, 39	3sstr4d 3797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  Latclat 17253  LSSumclsm 18256  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  DIsoBcdib 36948  DIsoHcdih 37038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dih 37039

This theorem is referenced by:  dihjatb  37226