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Theorem dih1dimatlem 36437
Description: Lemma for dih1dimat 36438. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l = (le‘𝐾)
dih1dimat.c 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j 𝐽 = (invr𝐹)
dih1dimat.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m · = ( ·𝑠𝑈)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z 0 = (0g𝑈)
dih1dimat.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Distinct variable groups:   ,   𝐵,   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,   ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,,𝑠   𝑈,𝑓,,𝑠   𝑓,𝐻,,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,,𝑠)   𝑆(𝑓,,𝑠)   · (𝑓,,𝑠)   𝐸()   𝐹(𝑓,,𝑠)   𝐺(𝑓,,𝑠)   𝐼()   𝐽(𝑓,𝑠)   (𝑓,𝑠)   𝑁()   𝑂(𝑓,,𝑠)   𝑉()   0 (𝑓,,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dih1dimat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 36217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5 dih1dimat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dih1dimat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 dih1dimat.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 dih1dimat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
95, 6, 7, 8islsat 34097 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
1110biimpa 501 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12 eldifi 3724 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣𝑉)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 36195 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
1615eleq2d 2685 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1712, 16syl5ib 234 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1817imp 445 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
2019opeq2d 4400 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
2120sneqd 4180 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
2221fveq2d 6182 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐾)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2624, 1, 13, 25trlcl 35270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
2827, 1, 13, 25trlle 35290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 36345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
3223, 26, 28, 31syl12anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 36276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
3532, 34eqtr2d 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅𝑓)))
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 36375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
39 f1fn 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:𝐵1-1𝑆𝐼 Fn 𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41 fnfvelrn 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4240, 26, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4335, 42eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4443adantrr 752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4622, 45eqeltrd 2699 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 36191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5251rexeqdv 3140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)))
53 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑡𝐸)
55 opelxpi 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5655ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = ( ·𝑠𝑈)
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 36211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
5953, 54, 56, 58syl12anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60 eleq1a 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6261rexlimdva 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6362pm4.71rd 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩))))
64 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑓𝑇)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑓𝑇)
66 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝐸)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑠𝐸)
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 36210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
7069eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7170rexbidva 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7271anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7352, 63, 723bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7473abbidv 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)})
75 df-rab 2918 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)}
7674, 75syl6eqr 2672 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩})
77 ssrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78 relxp 5217 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 × 𝐸)
79 relss 5196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}
81 relopab 5236 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}
82 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
83 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
84 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟𝐺)))
8584anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)))
86 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐺) = (𝑝𝐺))
8786eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝𝐺)))
88 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐸𝑝𝐸))
8987, 88anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸)))
9082, 83, 85, 89opelopab 4987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸))
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (invr𝐹)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 36436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
96953expa 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
97 opelxp 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖𝑇𝑝𝐸))
9882, 83opth 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
9998rexbii 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
10097, 99anbi12i 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠))))
10196, 100syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
102 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
103102rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
104103elrab 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
105101, 104syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
10690, 105syl5rbb 273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}))
10780, 81, 106eqrelrdv 5206 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
10876, 107eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
1091, 2, 47dvhlmod 36218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 36196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 18983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
113109, 111, 112syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
114 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝑂)
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 36212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽𝑠) ≠ 𝑂))
116115simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
1181, 13, 14tendocl 35874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐽𝑠) ∈ 𝐸𝑓𝑇) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 35124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12227, 91, 1, 13ltrnel 35244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
12347, 119, 121, 122syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
124 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 36347 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12647, 123, 125syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 36287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
12847, 123, 127syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
129126, 128eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
130108, 113, 1293eqtr4d 2664 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
13124, 1, 29dihfn 36376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135 hlop 34468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
13724, 1lhpbase 35103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
138137ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑊𝐵)
139 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
14024, 139opoccl 34300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141136, 138, 140syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
14292, 141syl5eqel 2703 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑃𝐵)
14324, 1, 13ltrncl 35230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145 fnfvelrn 6342 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146133, 144, 145syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147130, 146eqeltrd 2699 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
14846, 147pm2.61dane 2878 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149148ralrimivva 2968 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150 sneq 4178 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151150fveq2d 6182 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152151eleq1d 2684 . . . . . . . . 9 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153152ralxp 5252 . . . . . . . 8 (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154149, 153sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155154r19.21bi 2929 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
15618, 155syldan 487 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157 eleq1a 2694 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158156, 157syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159158rexlimdva 3027 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160159adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
16111, 160mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  {cab 2606  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  cdif 3564  wss 3567  {csn 4168  cop 4174   class class class wbr 4644  {copab 4703  cmpt 4720   I cid 5013   × cxp 5102  ran crn 5105  cres 5106  ccom 5108  Rel wrel 5109   Fn wfn 5871  1-1wf1 5873  cfv 5876  crio 6595  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  lecple 15929  occoc 15930  0gc0g 16081  invrcinvr 18652  LModclmod 18844  LSubSpclss 18913  LSpanclspn 18952  LVecclvec 19083  LSAtomsclsa 34080  OPcops 34278  Atomscatm 34369  HLchlt 34456  LHypclh 35089  LTrncltrn 35206  trLctrl 35264  TEndoctendo 35859  DVecHcdvh 36186  DIsoBcdib 36246  DIsoCcdic 36280  DIsoHcdih 36336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-riotaBAD 34058
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-undef 7384  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-0g 16083  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-lsm 18032  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-drng 18730  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-lvec 19084  df-lsatoms 34082  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093  df-laut 35094  df-ldil 35209  df-ltrn 35210  df-trl 35265  df-tendo 35862  df-edring 35864  df-disoa 36137  df-dvech 36187  df-dib 36247  df-dic 36281  df-dih 36337
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