Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dignn0fr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dignn0fr 42720
Description: The digits of the fractional part of a nonnegative integer are 0. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dignn0fr ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)

Proof of Theorem dignn0fr
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ)
2 eldifi 3765 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 nn0re 11339 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
4 nn0ge0 11356 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
5 elrege0 12316 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
63, 4, 5sylanbrc 699 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
7 digval 42717 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
81, 2, 6, 7syl3an 1408 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵))
9 nnz 11437 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
10 eldif 3617 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0))
11 znnn0nn 11527 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
1210, 11sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ)
1312nnnn0d 11389 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℕ0)
14 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
159, 13, 14syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
16153adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℤ)
17 nn0z 11438 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
18173ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1916, 18zmulcld 11526 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ)
20 flid 12649 . . . . 5 (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) = ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁))
2221oveq1d 6705 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵))
23 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
24 reexpcl 12917 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
2523, 13, 24syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
2625recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
27263adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ)
28 nn0cn 11340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
29283ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30 nncn 11066 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31 nnne0 11091 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
3230, 31jca 553 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
33323ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
34 div23 10742 . . . . . . 7 (((𝐵↑-𝐾) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
3527, 29, 33, 34syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁))
36303ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
37313ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
3812nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
39383ad2ant2 1103 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝐾 ∈ ℤ)
4036, 37, 39expm1d 13058 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) = ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵))
4140eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) = (𝐵↑(-𝐾 − 1)))
4241oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) / 𝐵) · 𝑁) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
4335, 42eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) = ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁))
44 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 (-𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
4512, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) → (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
46 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (-𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
479, 45, 46syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0)) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
48473adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(-𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
4948, 18zmulcld 11526 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(-𝐾 − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
5043, 49eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ)
51253adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) ∈ ℝ)
5233ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5351, 52remulcld 10108 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ)
54 nnrp 11880 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
55543ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
56 mod0 12715 . . . . 5 ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
5753, 55, 56syl2anc 694 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0 ↔ (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) / 𝐵) ∈ ℤ))
5850, 57mpbird 247 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑-𝐾) · 𝑁) mod 𝐵) = 0)
5922, 58eqtrd 2685 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑁)) mod 𝐵) = 0)
608, 59eqtrd 2685 1 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ ∖ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  [,)cico 12215  cfl 12631   mod cmo 12708  cexp 12900  digitcdig 42714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dig 42715
This theorem is referenced by:  dig1  42727
  Copyright terms: Public domain W3C validator