Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2bits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2bits 42926
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative integer 𝑁 in a binary system is its 𝐾 th bit. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2bits ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem dig2bits
StepHypRef Expression
1 nn0re 11502 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
21adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 11291 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
5 reexpcl 13083 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
64, 5sylan 561 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ∈ ℝ)
7 2cnd 11294 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 11314 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
10 nn0z 11601 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
1110adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
127, 9, 11expne0d 13220 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (2↑𝐾) ≠ 0)
132, 6, 12redivcld 11054 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝐾)) ∈ ℝ)
1413flcld 12806 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ)
15 mod2eq1n2dvds 15278 . . 3 ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
17 2nn 11386 . . . . 5 2 ∈ ℕ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
19 simpr 471 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20 nn0rp0 12485 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞))
2120adantr 466 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
22 nn0digval 42912 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1475 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2))
2423eqeq1d 2772 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾))) mod 2) = 1))
25 nn0z 11601 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
26 bitsval2 15354 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2725, 26sylan 561 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝐾)))))
2816, 24, 273bitr4d 300 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾(digit‘2)𝑁) = 1 ↔ 𝐾 ∈ (bits‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138  +∞cpnf 10272   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cz 11578  [,)cico 12381  cfl 12798   mod cmo 12875  cexp 13066  cdvds 15188  bitscbits 15348  digitcdig 42907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-dvds 15189  df-bits 15351  df-dig 42908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator