MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difsnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difsnen 8083
Description: All decrements of a set are equinumerous. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
difsnen ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem difsnen
StepHypRef Expression
1 difexg 4841 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V)
2 enrefg 8029 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
433ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
5 sneq 4220 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
65difeq2d 3761 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
76breq2d 4697 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
84, 7syl5ibcom 235 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 = 𝐵 → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵})))
98imp 444 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
10 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑋𝑉)
11 difexg 4841 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V)
12 enrefg 8029 . . . . . 6 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∈ V → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
1310, 1, 11, 124syl 19 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
14 dif32 3924 . . . . 5 ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) = ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})
1513, 14syl6breq 4726 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
16 simpl3 1086 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑋)
17 simpl2 1085 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑋)
18 en2sn 8078 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → {𝐵} ≈ {𝐴})
1916, 17, 18syl2anc 694 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐵} ≈ {𝐴})
20 incom 3838 . . . . . 6 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ({𝐵} ∩ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}))
21 disjdif 4073 . . . . . 6 ({𝐵} ∩ ((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵})) = ∅
2220, 21eqtri 2673 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅
2322a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅)
24 incom 3838 . . . . . 6 (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}))
25 disjdif 4073 . . . . . 6 ({𝐴} ∩ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴})) = ∅
2624, 25eqtri 2673 . . . . 5 (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅
2726a1i 11 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)
28 unen 8081 . . . 4 (((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ≈ ((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∧ {𝐵} ≈ {𝐴}) ∧ ((((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∩ {𝐴}) = ∅)) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
2915, 19, 23, 27, 28syl22anc 1367 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ≈ (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}))
30 simpr 476 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3130necomd 2878 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
32 eldifsn 4350 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵𝑋𝐵𝐴))
3316, 31, 32sylanbrc 699 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}))
34 difsnid 4373 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐴}) ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝑋 ∖ {𝐴}))
36 eldifsn 4350 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴𝑋𝐴𝐵))
3717, 30, 36sylanbrc 699 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
38 difsnid 4373 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑋 ∖ {𝐵}) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
3937, 38syl 17 . . 3 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑋 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐴}) ∪ {𝐴}) = (𝑋 ∖ {𝐵}))
4029, 35, 393brtr3d 4716 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
419, 40pm2.61dane 2910 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ≈ (𝑋 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cen 7994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-suc 5767  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998
This theorem is referenced by:  domdifsn  8084  domunsncan  8101  enfixsn  8110  infdifsn  8592  cda1dif  9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator