MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diffi 8349
Description: If 𝐴 is finite, (𝐴𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3872 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
2 ssfi 8337 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
31, 2mpan2 709 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  cdif 3704  wss 3707  Fincfn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-om 7223  df-er 7903  df-en 8114  df-fin 8117
This theorem is referenced by:  dif1en  8350  unfi  8384  dif1card  9015  hashun2  13356  hashun3  13357  hashssdif  13384  hashdifpr  13387  hashfun  13408  hashf1lem2  13424  fsumdifsnconst  14714  hash2iun1dif1  14747  incexc  14760  fprodeq0g  14916  fprodfvdvdsd  15252  ramub1lem1  15924  ramub1lem2  15925  prmdvdsprmo  15940  psgnprfval  18133  sylow2alem2  18225  sylow2a  18226  gsummgp0  18800  psgnfix1  20138  psgndiflemB  20140  psgndif  20142  zrhcopsgndif  20143  dmatmul  20497  submaval  20581  1marepvsma1  20583  gsummatr01lem3  20657  gsummatr01  20659  smadiadetlem3  20668  smadiadet  20670  cramerimplem1  20683  cmpcld  21399  alexsubALTlem3  22046  cldsubg  22107  xrge0gsumle  22829  amgm  24908  rpvmasum2  25392  numedglnl  26230  cusgrfilem3  26555  finsumvtxdg2ssteplem4  26646  finsumvtxdg2sstep  26647  fprodeq02  29870  gsummptres  30085  indsumin  30385  gsumesum  30422  ballotlemfp1  30854  ballotlemgun  30887  hgt750lemd  31027  hgt750lemb  31035  hgt750leme  31037  tgoldbachgtde  31039  subfacp1lem1  31460  subfacp1lem3  31463  topdifinfindis  33497  matunitlindflem1  33710  poimirlem25  33739  poimirlem26  33740  poimirlem27  33741  poimirlem30  33744  elrfi  37751  eldioph2lem1  37817  eldioph2lem2  37818  pellexlem5  37891  fsumnncl  40298  fsumsplit1  40299  fprod0  40323  dvmptfprodlem  40654  stoweidlem44  40756  stoweidlem57  40769  fourierdlem42  40861  fourierdlem102  40920  fourierdlem114  40932  etransclem25  40971  etransclem35  40981  hspmbllem2  41339  fsummsndifre  41844  fsummmodsndifre  41846  mgpsumunsn  42642  mgpsumz  42643  mgpsumn  42644
  Copyright terms: Public domain W3C validator