Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelsiga 30526
Description: A sigma-algebra is closed under class differences. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
difelsiga ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem difelsiga
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1132 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝐴𝑆)
2 elssuni 4619 . . . 4 (𝐴𝑆𝐴 𝑆)
3 difin2 4033 . . . 4 (𝐴 𝑆 → (𝐴𝐵) = (( 𝑆𝐵) ∩ 𝐴))
41, 2, 33syl 18 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) = (( 𝑆𝐵) ∩ 𝐴))
5 isrnsigau 30520 . . . . . . . 8 (𝑆 ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 𝑆 ∧ ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
65simprd 482 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))
76simp2d 1138 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆)
8 difeq2 3865 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ( 𝑆𝑥) = ( 𝑆𝐵))
98eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆))
109rspccva 3448 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → ( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆)
117, 10sylan 489 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵𝑆) → ( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆)
12113adant2 1126 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → ( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆)
13 intprg 4663 . . . 4 ((( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} = (( 𝑆𝐵) ∩ 𝐴))
1412, 1, 13syl2anc 696 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} = (( 𝑆𝐵) ∩ 𝐴))
154, 14eqtr4d 2797 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) = {( 𝑆𝐵), 𝐴})
16 simp1 1131 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
17 prssi 4498 . . . . 5 ((( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ⊆ 𝑆)
1812, 1, 17syl2anc 696 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ⊆ 𝑆)
19 prex 5058 . . . . 5 {( 𝑆𝐵), 𝐴} ∈ V
2019elpw 4308 . . . 4 ({( 𝑆𝐵), 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {( 𝑆𝐵), 𝐴} ⊆ 𝑆)
2118, 20sylibr 224 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆)
22 prct 29822 . . . 4 ((( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ≼ ω)
2312, 1, 22syl2anc 696 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ≼ ω)
24 prnzg 4454 . . . 4 (( 𝑆𝐵) ∈ 𝑆 → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ≠ ∅)
2512, 24syl 17 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ≠ ∅)
26 sigaclci 30525 . . 3 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ {( 𝑆𝐵), 𝐴} ∈ 𝒫 𝑆) ∧ ({( 𝑆𝐵), 𝐴} ≼ ω ∧ {( 𝑆𝐵), 𝐴} ≠ ∅)) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ∈ 𝑆)
2716, 21, 23, 25, 26syl22anc 1478 . 2 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → {( 𝑆𝐵), 𝐴} ∈ 𝑆)
2815, 27eqeltrd 2839 1 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {cpr 4323   cuni 4588   cint 4627   class class class wbr 4804  ran crn 5267  ωcom 7231  cdom 8121  sigAlgebracsiga 30500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-ac2 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-cda 9202  df-siga 30501
This theorem is referenced by:  inelsiga  30528  sigainb  30529  sigaldsys  30552  cldssbrsiga  30580  measxun2  30603  measssd  30608  measunl  30609  measiuns  30610  measiun  30611  meascnbl  30612  imambfm  30654  dya2iocbrsiga  30667  dya2icobrsiga  30668  sxbrsigalem2  30678  probdif  30812
  Copyright terms: Public domain W3C validator