Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difelfzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelfzle 12491
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12471 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 elfznn0 12471 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 nn0z 11438 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
4 nn0z 11438 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
5 zsubcl 11457 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
76adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
8 nn0re 11339 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
9 nn0re 11339 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 subge0 10579 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
118, 9, 10syl2anr 494 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
1211biimpar 501 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐾))
137, 12jca 553 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1413exp31 629 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
151, 2, 14syl2im 40 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
16153imp 1275 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
17 elnn0z 11428 . . 3 ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1816, 17sylibr 224 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℕ0)
19 elfz3nn0 12472 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20193ad2ant1 1102 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 elfz2nn0 12469 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2283ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23 resubcl 10383 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2422, 9, 23syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2522adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26 nn0re 11339 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27263ad2ant2 1103 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31 subge02 10582 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3222, 9, 31syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3330, 32mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑀)
34 simpl3 1086 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝑁)
3524, 25, 28, 33, 34letrd 10232 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
3635ex 449 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3721, 36sylbi 207 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
381, 37syl5com 31 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3938a1dd 50 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)))
40393imp 1275 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
41 elfz2nn0 12469 . 2 ((𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1265 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ...cfz 12364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365 This theorem is referenced by:  2cshwcshw  13617
 Copyright terms: Public domain W3C validator