Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dicvscacl 36994
 Description: Membership in value of the partial isomorphism C is closed under scalar product. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicvscacl.l = (le‘𝐾)
dicvscacl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicvscacl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicvscacl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dicvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐼𝑄))

Proof of Theorem dicvscacl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑋𝐸)
3 dicvscacl.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 dicvscacl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dicvscacl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dicvscacl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
7 dicvscacl.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2770 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
93, 4, 5, 6, 7, 8dicssdvh 36989 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
10 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 dicvscacl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
125, 10, 11, 7, 8dvhvbase 36890 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
1312eqcomd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) = (Base‘𝑈))
1413adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) = (Base‘𝑈))
159, 14sseqtr4d 3789 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
16153adant3 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
17 simp3r 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑌 ∈ (𝐼𝑄))
1816, 17sseldd 3751 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
19 dicvscacl.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
205, 10, 11, 7, 19dvhvsca 36904 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
211, 2, 18, 20syl12anc 1473 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
22 fvi 6397 . . . . . 6 (𝑋𝐸 → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
232, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
2423coeq1d 5422 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) = (𝑋 ∘ (2nd𝑌)))
2524opeq2d 4544 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
2621, 25eqtr4d 2807 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩)
27 eqid 2770 . . . . . . . 8 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
283, 4, 5, 27, 10, 6dicelval1sta 36990 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (1st𝑌) = ((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
29283adant3l 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (1st𝑌) = ((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
3029fveq2d 6336 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
313, 4, 5, 11, 6dicelval2nd 36992 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
32313adant3l 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
335, 10, 11tendof 36565 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (2nd𝑌) ∈ 𝐸) → (2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
341, 32, 33syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
363, 35, 4, 5lhpocnel 35819 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
37363ad2ant1 1126 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
38 simp2 1130 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
39 eqid 2770 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
403, 4, 5, 10, 39ltrniotacl 36381 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
411, 37, 38, 40syl3anc 1475 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
42 fvco3 6417 . . . . . 6 (((2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
4334, 41, 42syl2anc 565 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
4430, 43eqtr4d 2807 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
4524fveq1d 6334 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
4644, 45eqtr4d 2807 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
475, 11tendococl 36574 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐸 ∧ (2nd𝑌) ∈ 𝐸) → (𝑋 ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
481, 2, 32, 47syl3anc 1475 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
4924, 48eqeltrd 2849 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
50 fvex 6342 . . . . 5 (𝑋‘(1st𝑌)) ∈ V
51 fvex 6342 . . . . . 6 ( I ‘𝑋) ∈ V
52 fvex 6342 . . . . . 6 (2nd𝑌) ∈ V
5351, 52coex 7264 . . . . 5 (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ V
543, 4, 5, 27, 10, 11, 6, 50, 53dicopelval 36980 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ ((𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)))
55543adant3 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ ((𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)))
5646, 49, 55mpbir2and 684 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄))
5726, 56eqeltrd 2849 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐼𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  ⟨cop 4320   class class class wbr 4784   I cid 5156   × cxp 5247   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  ℩crio 6752  (class class class)co 6792  1st c1st 7312  2nd c2nd 7313  Basecbs 16063   ·𝑠 cvsca 16152  lecple 16155  occoc 16156  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  TEndoctendo 36554  DVecHcdvh 36881  DIsoCcdic 36975 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tendo 36557  df-dvech 36882  df-dic 36976 This theorem is referenced by:  diclss  36996
 Copyright terms: Public domain W3C validator