Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dicn0 37002
Description: The value of the partial isomorphism C is not empty. (Contributed by NM, 15-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicn0.l = (le‘𝐾)
dicn0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicn0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicn0.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dicn0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ≠ ∅)

Proof of Theorem dicn0
Dummy variables 𝑔 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dicn0.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
3 eqid 2771 . . . . . . . 8 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 dicn0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dicn0.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
62, 3, 4, 5lhpocnel 35827 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
76adantr 466 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
8 simpr 471 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
9 eqid 2771 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
112, 4, 5, 9, 10ltrniotacl 36389 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
121, 7, 8, 11syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1513, 14tendo02 36597 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1612, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1716eqcomd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ( I ↾ (Base‘𝐾)) = ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
18 eqid 2771 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
1914, 5, 9, 18, 13tendo0cl 36600 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2019adantr 466 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 eqid 2771 . . . 4 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
22 dicn0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
23 fvex 6344 . . . . 5 (Base‘𝐾) ∈ V
24 resiexg 7253 . . . . 5 ((Base‘𝐾) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V
26 fvex 6344 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2726mptex 6633 . . . 4 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
282, 4, 5, 21, 9, 18, 22, 25, 27dicopelval 36987 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ (( I ↾ (Base‘𝐾)) = ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
2917, 20, 28mpbir2and 692 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (𝐼𝑄))
3029ne0d 4070 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  c0 4063  cop 4323   class class class wbr 4787  cmpt 4864   I cid 5157  cres 5252  cfv 6030  crio 6756  Basecbs 16064  lecple 16156  occoc 16157  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35793  LTrncltrn 35910  TEndoctendo 36562  DIsoCcdic 36982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-map 8015  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tendo 36565  df-dic 36983
This theorem is referenced by:  diclss  37003
  Copyright terms: Public domain W3C validator