Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diclss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diclss 37018
Description: The value of partial isomorphism C is a subspace of partial vector space H. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
diclss.l = (le‘𝐾)
diclss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
diclss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diclss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
diclss.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
diclss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
diclss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem diclss
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈))
2 diclss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2774 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 diclss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2774 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6 eqid 2774 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
72, 3, 4, 5, 6dvhbase 36908 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
87eqcomd 2780 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
98adantr 467 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
10 eqid 2774 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 eqid 2774 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
122, 10, 3, 4, 11dvhvbase 36912 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
1312eqcomd 2780 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
1413adantr 467 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘𝑈))
15 eqidd 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (+g𝑈) = (+g𝑈))
16 eqidd 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈))
17 diclss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
1817a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑈))
19 diclss.l . . . 4 = (le‘𝐾)
20 diclss.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21 diclss.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
2219, 20, 2, 21, 4, 11dicssdvh 37011 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
2322, 14sseqtr4d 3798 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
2419, 20, 2, 21dicn0 37017 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ≠ ∅)
25 simpll 772 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simplr 774 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
27 simpr1 1239 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
28 simpr2 1241 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑎 ∈ (𝐼𝑄))
29 eqid 2774 . . . . 5 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
3019, 20, 2, 3, 4, 21, 29dicvscacl 37016 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ (𝐼𝑄))
3125, 26, 27, 28, 30syl112anc 1483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ (𝐼𝑄))
32 simpr3 1243 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))
33 eqid 2774 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
3419, 20, 2, 4, 21, 33dicvaddcl 37015 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎) ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ (𝐼𝑄))
3525, 26, 31, 32, 34syl112anc 1483 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼𝑄) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑥( ·𝑠𝑈)𝑎)(+g𝑈)𝑏) ∈ (𝐼𝑄))
361, 9, 14, 15, 16, 18, 23, 24, 35islssd 19166 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148   class class class wbr 4797   × cxp 5261  cfv 6042  (class class class)co 6812  Basecbs 16084  +gcplusg 16169  Scalarcsca 16172   ·𝑠 cvsca 16173  lecple 16176  LSubSpclss 19162  Atomscatm 35087  HLchlt 35174  LHypclh 35808  LTrncltrn 35925  TEndoctendo 36577  DVecHcdvh 36903  DIsoCcdic 36997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-riotaBAD 34776
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-undef 7572  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-preset 17156  df-poset 17174  df-plt 17186  df-lub 17202  df-glb 17203  df-join 17204  df-meet 17205  df-p0 17267  df-p1 17268  df-lat 17274  df-clat 17336  df-lss 19163  df-oposet 35000  df-ol 35002  df-oml 35003  df-covers 35090  df-ats 35091  df-atl 35122  df-cvlat 35146  df-hlat 35175  df-llines 35322  df-lplanes 35323  df-lvols 35324  df-lines 35325  df-psubsp 35327  df-pmap 35328  df-padd 35620  df-lhyp 35812  df-laut 35813  df-ldil 35928  df-ltrn 35929  df-trl 35984  df-tendo 36580  df-edring 36582  df-dvech 36904  df-dic 36998
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  37025  cdlemn11c  37034  dihjustlem  37041  dihord1  37043  dihord2a  37044  dihord2b  37045  dihord11c  37049  dihlsscpre  37059  dihvalcqat  37064  dihopelvalcpre  37073  dihord6apre  37081  dihord5b  37084  dihord5apre  37087
  Copyright terms: Public domain W3C validator