Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibord 36969
Description: The isomorphism B for a lattice 𝐾 is order-preserving in the region under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib11.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib11.l = (le‘𝐾)
dib11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib11.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibord (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))

Proof of Theorem dibord
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dib11.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dib11.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 dib11.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2771 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2771 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
6 eqid 2771 . . . . 5 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7 dib11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dibval2 36954 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
983adant3 1126 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7dibval2 36954 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼𝑌) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
11103adant2 1125 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼𝑌) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
129, 11sseq12d 3783 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))})))
131, 2, 3, 7dibn0 36963 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
14133adant3 1126 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼𝑋) ≠ ∅)
159, 14eqnetrrd 3011 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ≠ ∅)
16 ssxpb 5709 . . 3 (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ≠ ∅ → (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ↔ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))})))
1715, 16syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ↔ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))})))
18 ssid 3773 . . . 4 {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}
1918biantru 519 . . 3 ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ↔ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
201, 2, 3, 6diaord 36857 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))
2119, 20syl5bbr 274 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ↔ 𝑋 𝑌))
2212, 17, 213bitrd 294 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156   × cxp 5247  cres 5251  cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  DIsoAcdia 36838  DIsoBcdib 36948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-disoa 36839  df-dib 36949
This theorem is referenced by:  dib11N  36970  cdlemn2a  37006  dihord1  37028  dihord3  37067  dihord5b  37069
  Copyright terms: Public domain W3C validator