Theorem dib2dim 37053

Description: Extend dia2dim 36887 to partial isomorphism B. (Contributed by NM, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib2dim.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dib2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dib2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dib2dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib2dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dib2dim.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dib2dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dib2dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dib2dim.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dib2dim.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dib2dim	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dib2dim

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dib2dim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dib2dim.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dib2dim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3	dibvalrel 36973	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → Rel (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
6		dib2dim.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dib2dim.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dib2dim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
12		dib2dim.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dib2dim.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
14	6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 1, 12, 13	dia2dim 36887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
15	14	sseld 3748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))))
16	15	anim1d 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
17	1	simpld 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
18	12	simpld 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	13	simpld 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
20		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 7, 8	hlatjcl 35175	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
23	12	simprd 483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
24	13	simprd 483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
25		hllat 35172	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
26	17, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
27	20, 8	atbase 35098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
28	18, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
29	20, 8	atbase 35098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
30	19, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
31	1	simprd 483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
32	20, 2	lhpbase 35806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
34	20, 6, 7	latjle12 17276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
35	26, 28, 30, 33, 34	syl13anc 1476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
36	23, 24, 35	mpbi2and 991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
37		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
38		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
39	20, 6, 2, 37, 38, 11, 3	dibopelval2 36955	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
40	1, 22, 36, 39	syl12anc 1472	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
41		dib2dim.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
42		dib2dim.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
43	28, 23	jca 556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
44	30, 24	jca 556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
45	20, 6, 2, 37, 38, 9, 41, 10, 42, 11, 3, 1, 43, 44	diblsmopel 36981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) ↔ (𝑓 ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃)(LSSum‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))(((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)) ∧ 𝑠 = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))))
46	16, 40, 45	3imtr4d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄))))
47	5, 46	relssdv 5351	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1629   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3720  ⟨cop 4319   class class class wbr 4783   ↦ cmpt 4860   I cid 5155   ↾ cres 5250  Rel wrel 5253  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  Basecbs 16070  lecple 16162  joincjn 17158  Latclat 17259  LSSumclsm 18262  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  DVecAcdveca 36811  DIsoAcdia 36838  DVecHcdvh 36888  DIsoBcdib 36948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-riotaBAD 34761

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-tpos 7502  df-undef 7549  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-0g 16316  df-preset 17142  df-poset 17160  df-plt 17172  df-lub 17188  df-glb 17189  df-join 17190  df-meet 17191  df-p0 17253  df-p1 17254  df-lat 17260  df-clat 17322  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-submnd 17550  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-subg 17805  df-cntz 17963  df-lsm 18264  df-cmn 18408  df-abl 18409  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-oppr 18837  df-dvdsr 18855  df-unit 18856  df-invr 18886  df-dvr 18897  df-drng 18965  df-lmod 19081  df-lss 19149  df-lsp 19191  df-lvec 19322  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949

This theorem is referenced by:  dih2dimb  37054