Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diameetN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diameetN 36662
 Description: Partial isomorphism A of a lattice meet. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diam.m = (meet‘𝐾)
diam.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diam.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diameetN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem diameetN
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 diam.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3 simpll 805 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝐾 ∈ HL)
4 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 diam.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 diam.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
74, 5, 6diadmclN 36643 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
87adantrr 753 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
94, 5, 6diadmclN 36643 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
109adantrl 752 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
111, 2, 3, 8, 10meetval 17066 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
1211fveq2d 6233 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
13 simpl 472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 prssi 4385 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
1514adantl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼)
16 prnzg 4342 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝐼 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
1716ad2antrl 764 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
181, 5, 6diaglbN 36661 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom 𝐼 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
1913, 15, 17, 18syl12anc 1364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
20 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑋))
21 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑌))
2220, 21iinxprg 4633 . . 3 ((𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2322adantl 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
2412, 19, 233eqtrd 2689 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑌 ∈ dom 𝐼)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {cpr 4212  ∩ ciin 4553  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  glbcglb 16990  meetcmee 16992  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DIsoAcdia 36634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-disoa 36635 This theorem is referenced by:  diainN  36663  djajN  36743
 Copyright terms: Public domain W3C validator