Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaglbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaglbN 36864
Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
diaglb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diaglb.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaglbN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊

Proof of Theorem diaglbN
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlclat 35166 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
32ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
4 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 diaglb.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 diaglb.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
84, 5, 6, 7diadm 36844 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐼 = {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
98sseq2d 3774 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊}))
109biimpa 502 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐼) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
1110adantrr 755 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊})
12 ssrab2 3828 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑦(le‘𝐾)𝑊} ⊆ (Base‘𝐾)
1311, 12syl6ss 3756 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
14 diaglb.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
154, 14clatglbcl 17335 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
163, 13, 15syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
17 simprr 813 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18 n0 4074 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
1917, 18sylib 208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑥 𝑥𝑆)
20 hllat 35171 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
2216adantr 472 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
23 ssel2 3739 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
2423adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
2524adantll 752 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom 𝐼)
264, 5, 6, 7diaeldm 36845 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
2726ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
2825, 27mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊))
2928simpld 477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
304, 6lhpbase 35805 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3130ad3antlr 769 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
322ad3antrrr 768 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
3313adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
34 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
354, 5, 14clatglble 17346 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑥)
3728simprd 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
384, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37lattrd 17279 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
3919, 38exlimddv 2012 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)
40 eqid 2760 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41 eqid 2760 . . . . 5 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
424, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 36842 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑆)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆))))
431, 16, 39, 42syl12anc 1475 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆))))
44 r19.28zv 4210 . . . . . 6 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4544ad2antll 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
46 simpll 807 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
474, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 36842 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4846, 28, 47syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
4948ralbidva 3123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
502ad3antrrr 768 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ CLat)
514, 6, 40, 41trlcl 35972 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
5251adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾))
5313adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
544, 5, 14clatleglb 17347 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
5550, 52, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆) ↔ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥))
5655pm5.32da 676 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝑆 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)𝑥)))
5745, 49, 563bitr4rd 301 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥)))
58 vex 3343 . . . . 5 𝑓 ∈ V
59 eliin 4677 . . . . 5 (𝑓 ∈ V → (𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥)))
6058, 59ax-mp 5 . . . 4 (𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆 𝑓 ∈ (𝐼𝑥))
6157, 60syl6bbr 278 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾)(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
6243, 61bitrd 268 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝐺𝑆)) ↔ 𝑓 𝑥𝑆 (𝐼𝑥)))
6362eqrdv 2758 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ dom 𝐼𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   ciin 4673   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  glbcglb 17164  Latclat 17266  CLatccla 17328  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966  DIsoAcdia 36837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-disoa 36838
This theorem is referenced by:  diameetN  36865  diaintclN  36867  dibglbN  36975
  Copyright terms: Public domain W3C validator