Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf1oN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaf1oN 36940
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one, onto function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. See diadm 36845 for the domain. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvadia.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.n = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
dvadia.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
diaf1oN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   (𝑥)

Proof of Theorem diaf1oN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvadia.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31, 2diaf11N 36859 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
4 f1of1 6278 . . . 4 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼)
6 dvadia.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7 dvadia.n . . . . 5 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
8 dvadia.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
91, 6, 2, 7, 8diarnN 36939 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
10 f1eq3 6239 . . . 4 (ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥} → (𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥}))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼:dom 𝐼1-1→ran 𝐼𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥}))
125, 11mpbid 222 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
13 dff1o5 6288 . 2 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥} ↔ (𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥} ∧ ran 𝐼 = {𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥}))
1412, 9, 13sylanbrc 572 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→{𝑥𝑆 ∣ ( ‘( 𝑥)) = 𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  dom cdm 5250  ran crn 5251  1-1wf1 6027  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  LSubSpclss 19142  HLchlt 35159  LHypclh 35793  DVecAcdveca 36812  DIsoAcdia 36838  ocAcocaN 36929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-lss 19143  df-oposet 34985  df-cmtN 34986  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tendo 36565  df-edring 36567  df-dveca 36813  df-disoa 36839  df-docaN 36930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator