Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaf11N 36757
 Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is a one-to-one function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 27. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1o.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaf11N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)

Proof of Theorem diaf11N
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2724 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dia1o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dia1o.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4diafn 36742 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊})
6 fnfun 6101 . . . 4 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → Fun 𝐼)
7 funfn 6031 . . . 4 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
86, 7sylib 208 . . 3 (𝐼 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑥(le‘𝐾)𝑊} → 𝐼 Fn dom 𝐼)
95, 8syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
10 eqidd 2725 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran 𝐼 = ran 𝐼)
111, 2, 3, 4diaeldm 36744 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)))
121, 2, 3, 4diaeldm 36744 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑦 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)))
1311, 12anbi12d 749 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊))))
141, 2, 3, 4dia11N 36756 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514biimpd 219 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16153expib 1116 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1713, 16sylbid 230 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1817ralrimivv 3072 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
19 dff1o6 6646 . 2 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 ↔ (𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ ran 𝐼 = ran 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ dom 𝐼((𝐼𝑥) = (𝐼𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
209, 10, 18, 19syl3anbrc 1383 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  {crab 3018   class class class wbr 4760  dom cdm 5218  ran crn 5219  Fun wfun 5995   Fn wfn 5996  –1-1-onto→wf1o 6000  ‘cfv 6001  Basecbs 15980  lecple 16071  HLchlt 35057  LHypclh 35690  DIsoAcdia 36736 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-riotaBAD 34659 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-undef 7519  df-map 7976  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-p0 17161  df-p1 17162  df-lat 17168  df-clat 17230  df-oposet 34883  df-ol 34885  df-oml 34886  df-covers 34973  df-ats 34974  df-atl 35005  df-cvlat 35029  df-hlat 35058  df-llines 35204  df-lplanes 35205  df-lvols 35206  df-lines 35207  df-psubsp 35209  df-pmap 35210  df-padd 35502  df-lhyp 35694  df-laut 35695  df-ldil 35810  df-ltrn 35811  df-trl 35866  df-disoa 36737 This theorem is referenced by:  diaclN  36758  diacnvclN  36759  dia1elN  36762  diainN  36765  diaintclN  36766  diasslssN  36767  docaclN  36832  diaocN  36833  doca3N  36835  diaf1oN  36838
 Copyright terms: Public domain W3C validator