Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem12 36862
Description: Lemma for dia2dim 36864. Obtain subset relation. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem12.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem12.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem12.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.y 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem12.pl = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem12.n 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem12.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem12.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem12.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem12.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem12.uv (𝜑𝑈𝑉)
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem12 (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem12
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem12.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
3 dia2dimlem12.u . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
43simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐴)
5 dia2dimlem12.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
65simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
7 eqid 2756 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 dia2dimlem12.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
9 dia2dimlem12.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 35152 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
112, 4, 6, 10syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
123simprd 482 . . . . . 6 (𝜑𝑈 𝑊)
135simprd 482 . . . . . 6 (𝜑𝑉 𝑊)
14 hllat 35149 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
152, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
167, 9atbase 35075 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
174, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
187, 9atbase 35075 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
196, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
201simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
21 dia2dimlem12.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
227, 21lhpbase 35783 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
24 dia2dimlem12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
257, 24, 8latjle12 17259 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑈 𝑉) 𝑊))
2615, 17, 19, 23, 25syl13anc 1479 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑈 𝑉) 𝑊))
2712, 13, 26mpbi2and 994 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑉) 𝑊)
28 dia2dimlem12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
29 dia2dimlem12.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
307, 24, 21, 28, 29diass 36829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ⊆ 𝑇)
311, 11, 27, 30syl12anc 1475 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ⊆ 𝑇)
3231sseld 3739 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) → 𝑓𝑇))
33 dia2dimlem12.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
34 dia2dimlem12.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
35 dia2dimlem12.y . . . . 5 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
36 dia2dimlem12.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
37 dia2dimlem12.pl . . . . 5 = (LSSum‘𝑌)
38 dia2dimlem12.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
3913ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4033ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
4153ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
42 simp3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓𝑇)
43 dia2dimlem12.uv . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
44433ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑈𝑉)
45 simp2 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)))
4624, 8, 33, 9, 21, 28, 34, 35, 36, 37, 38, 29, 39, 40, 41, 42, 44, 45dia2dimlem11 36861 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∧ 𝑓𝑇) → 𝑓 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
47463exp 1113 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) → (𝑓𝑇𝑓 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))))
4832, 47mpdd 43 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) → 𝑓 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉))))
4948ssrdv 3746 1 (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ⊆ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  wss 3711   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  lecple 16146  joincjn 17141  meetcmee 17142  Latclat 17242  LSSumclsm 18245  LSubSpclss 19130  LSpanclspn 19169  Atomscatm 35049  HLchlt 35136  LHypclh 35769  LTrncltrn 35886  trLctrl 35944  DVecAcdveca 36788  DIsoAcdia 36815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-riotaBAD 34738
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-undef 7564  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-0g 16300  df-preset 17125  df-poset 17143  df-plt 17155  df-lub 17171  df-glb 17172  df-join 17173  df-meet 17174  df-p0 17236  df-p1 17237  df-lat 17243  df-clat 17305  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-subg 17788  df-cntz 17946  df-lsm 18247  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19170  df-lvec 19301  df-oposet 34962  df-ol 34964  df-oml 34965  df-covers 35052  df-ats 35053  df-atl 35084  df-cvlat 35108  df-hlat 35137  df-llines 35283  df-lplanes 35284  df-lvols 35285  df-lines 35286  df-psubsp 35288  df-pmap 35289  df-padd 35581  df-lhyp 35773  df-laut 35774  df-ldil 35889  df-ltrn 35890  df-trl 35945  df-tgrp 36529  df-tendo 36541  df-edring 36543  df-dveca 36789  df-disoa 36816
This theorem is referenced by:  dia2dimlem13  36863
  Copyright terms: Public domain W3C validator