Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1eldmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1eldmN 36851
 Description: The fiducial hyperplane (the largest allowed lattice element) belongs to the domain of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 5-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1eldm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1eldm.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia1eldmN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem dia1eldmN
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 dia1eldm.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
31, 2lhpbase 35806 . . 3 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
43adantl 473 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5 hllat 35172 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
6 eqid 2761 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
71, 6latref 17275 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
85, 3, 7syl2an 495 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊(le‘𝐾)𝑊)
9 dia1eldm.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
101, 6, 2, 9diaeldm 36846 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊(le‘𝐾)𝑊)))
114, 8, 10mpbir2and 995 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ dom 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  ‘cfv 6050  Basecbs 16080  lecple 16171  Latclat 17267  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DIsoAcdia 36838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-preset 17150  df-poset 17168  df-lat 17268  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796  df-disoa 36839 This theorem is referenced by:  dia1elN  36864
 Copyright terms: Public domain W3C validator