Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia0 36861
Description: The value of the partial isomorphism A at the lattice zero is the singleton of the identity translation i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 26-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dia0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia0.z 0 = (0.‘𝐾)
dia0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia0.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {( I ↾ 𝐵)})

Proof of Theorem dia0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hlatl 35168 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3 dia0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dia0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
53, 4atl0cl 35111 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
62, 5syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 0𝐵)
76adantr 472 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0𝐵)
8 dia0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
93, 8lhpbase 35805 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
10 eqid 2760 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
113, 10, 4atl0le 35112 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑊𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
122, 9, 11syl2an 495 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 (le‘𝐾)𝑊)
13 eqid 2760 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2760 . . . 4 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 dia0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
163, 10, 8, 13, 14, 15diaval 36841 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 0𝐵0 (le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
171, 7, 12, 16syl12anc 1475 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 })
182ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
193, 8, 13, 14trlcl 35972 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵)
203, 10, 4atlle0 35113 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
2118, 19, 20syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
223, 4, 8, 13, 14trlid0b 35986 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) = 0 ))
2321, 22bitr4d 271 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0𝑓 = ( I ↾ 𝐵)))
2423rabbidva 3328 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)(le‘𝐾) 0 } = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)})
253, 8, 13idltrn 35957 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
26 rabsn 4400 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
2725, 26syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑓 = ( I ↾ 𝐵)} = {( I ↾ 𝐵)})
2817, 24, 273eqtrd 2798 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼0 ) = {( I ↾ 𝐵)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  {csn 4321   class class class wbr 4804   I cid 5173  cres 5268  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  0.cp0 17258  AtLatcal 35072  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966  DIsoAcdia 36837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-disoa 36838
This theorem is referenced by:  dib0  36973
  Copyright terms: Public domain W3C validator