MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrsub 24009
Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrsub.1 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dgrsub ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓𝐺)) ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub
StepHypRef Expression
1 plyssc 23937 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
21sseli 3591 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3 ssid 3616 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
4 neg1cn 11109 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 plyconst 23943 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
63, 4, 5mp2an 707 . . . 4 (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
71sseli 3591 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 plymulcl 23958 . . . 4 (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
96, 7, 8sylancr 694 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10 dgrsub.1 . . . 4 𝑀 = (deg‘𝐹)
11 eqid 2620 . . . 4 (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))
1210, 11dgradd 24004 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
132, 9, 12syl2an 494 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
14 plyf 23935 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
15 plyf 23935 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16 cnex 10002 . . . . 5 ℂ ∈ V
17 ofnegsub 11003 . . . . 5 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
1816, 17mp3an1 1409 . . . 4 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
1914, 15, 18syl2an 494 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
2019fveq2d 6182 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹𝑓𝐺)))
21 neg1ne0 11111 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
22 dgrmulc 24008 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
234, 21, 22mp3an12 1412 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
24 dgrsub.2 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐺)
2523, 24syl6eqr 2672 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑁)
2625adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑁)
2726breq2d 4656 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ↔ 𝑀𝑁))
2827, 26ifbieq1d 4100 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
2913, 20, 283brtr3d 4675 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓𝐺)) ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  Vcvv 3195  wss 3567  ifcif 4077  {csn 4168   class class class wbr 4644   × cxp 5102  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑓 cof 6880  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252  Polycply 23921  degcdgr 23924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-0p 23418  df-ply 23925  df-coe 23927  df-dgr 23928
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24011  plydivlem4  24032  plydiveu  24034  dgrsub2  37524
  Copyright terms: Public domain W3C validator