Theorem dgrid 24219

Description: The degree of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrid	⊢ (deg‘Xp) = 1

Proof of Theorem dgrid

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10186	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		ax-1ne0 10197	. 2 ⊢ 1 ≠ 0
3		1nn0 11500	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		mptresid 5614	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧) = ( I ↾ ℂ)
5		exp1 13060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑1) = 𝑧)
6	5	oveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = (1 · 𝑧))
7		mulid2 10230	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · 𝑧) = 𝑧)
8	6, 7	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (1 · (𝑧↑1)) = 𝑧)
9	8	mpteq2ia 4892	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)
10		df-idp 24144	. . . 4 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
11	4, 9, 10	3eqtr4ri 2793	. . 3 ⊢ Xp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑1)))
12	11	dgr1term 24215	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (deg‘Xp) = 1)
13	1, 2, 3, 12	mp3an 1573	1 ⊢ (deg‘Xp) = 1

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ↦ cmpt 4881   I cid 5173   ↾ cres 5268  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  ℕ₀cn0 11484  ↑cexp 13054  X_pcidp 24140  degcdgr 24142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-0p 23636  df-ply 24143  df-idp 24144  df-coe 24145  df-dgr 24146

This theorem is referenced by:  plyremlem  24258