MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcolem2 24250
Description: Lemma for dgrco 24251. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrco.2 𝑁 = (deg‘𝐺)
dgrco.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrco.4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrco.5 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrco.6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
dgrco.7 (𝜑𝑀 = (𝐷 + 1))
dgrco.8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 → (deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝐷,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plyf 24174 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
43ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6 plyf 24174 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
87ffvelrnda 6504 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
94, 8syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeff‘𝐹)
1110coef3 24208 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (deg‘𝐹)
14 dgrcl 24209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
155, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1613, 15syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1712, 16ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1817adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1916adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
204, 19expcld 13215 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑𝑀) ∈ ℂ)
2118, 20mulcld 10266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)) ∈ ℂ)
229, 21npcand 10602 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) + ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
2322mpteq2dva 4879 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) + ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
24 cnex 10223 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ V)
269, 21subcld 10598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ ℂ)
27 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
28 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
2925, 26, 21, 27, 28offval2 7065 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) + ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
303feqmptd 6393 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
317feqmptd 6393 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
32 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
334, 30, 31, 32fmptco 6542 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
3423, 29, 333eqtr4rd 2816 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐺) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
3534fveq2d 6337 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝐺)) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))))
3635adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))))
3725, 9, 21, 33, 28offval2 7065 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
38 plyssc 24176 . . . . . . . . 9 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
3938, 5sseldi 3750 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4038, 1sseldi 3750 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
41 addcl 10224 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
4241adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
43 mulcl 10226 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
4443adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
4539, 40, 42, 44plyco 24217 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
46 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))
47 oveq1 6803 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦𝑀) = ((𝐺𝑥)↑𝑀))
4847oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)) = ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
494, 30, 46, 48fmptco 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
50 ssid 3773 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
52 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))
5352ply1term 24180 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
5451, 17, 16, 53syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
5554, 40, 42, 44plyco 24217 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
5649, 55eqeltrrd 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
57 plysubcl 24198 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝐹𝐺) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
5845, 56, 57syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
5937, 58eqeltrrd 2851 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
6059adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
6156adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ))
62 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = (𝐷 + 1))
63 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
64 nn0p1nn 11539 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
6662, 65eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6766nngt0d 11270 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑀)
68 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (deg‘0𝑝))
69 dgr0 24238 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
7068, 69syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = 0)
7170breq1d 4797 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
7267, 71syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀))
73 idd 24 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀))
74 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))
7513, 74dgrsub 24248 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀))
7639, 54, 75syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀))
7766nnne0d 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≠ 0)
7813, 10dgreq0 24241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
795, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
80 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
8180, 69syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
8213, 81syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 = 0𝑝𝑀 = 0)
8379, 82syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝑀) = 0 → 𝑀 = 0))
8483necon3d 2964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ≠ 0 → (𝐴𝑀) ≠ 0))
8577, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
8652dgr1term 24236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 𝑀)
8717, 85, 16, 86syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 𝑀)
8887ifeq1d 4244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀, 𝑀))
89 ifid 4265 . . . . . . . . . . 11 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
9088, 89syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))), 𝑀) = 𝑀)
9176, 90breqtrd 4813 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝑀)
92 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))
9310, 92coesub 24233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))))
9439, 54, 93syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))))
9594fveq1d 6335 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀))
9612ffnd 6185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
9792coef3 24208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))):ℕ0⟶ℂ)
9854, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))):ℕ0⟶ℂ)
9998ffnd 6185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) Fn ℕ0)
100 nn0ex 11505 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
102 inidm 3971 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
103 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
10452coe1term 24235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑀, (𝐴𝑀), 0))
10517, 16, 16, 104syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = if(𝑀 = 𝑀, (𝐴𝑀), 0))
106 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = 𝑀
107106iftruei 4233 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑀 = 𝑀, (𝐴𝑀), 0) = (𝐴𝑀)
108105, 107syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
109108adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
11096, 99, 101, 101, 102, 103, 109ofval 7057 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
11116, 110mpdan 667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
11217subidd 10586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
11395, 111, 1123eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = 0)
114 plysubcl 24198 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
11539, 54, 114syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ))
116 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))
117 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) = (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))
118116, 117dgrlt 24242 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = 0)))
119115, 16, 118syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))‘𝑀) = 0)))
12091, 113, 119mpbir2and 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀))
12172, 73, 120mpjaod 849 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀)
122121adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀)
123 dgrcl 24209 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℕ0)
124115, 123syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℕ0)
125124nn0red 11559 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℝ)
126125adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℝ)
12716nn0red 11559 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
128127adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
129 nnre 11233 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
130129adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
131 nngt0 11255 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
132131adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
133 ltmul1 11079 . . . . . . 7 (((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑁)))
134126, 128, 130, 132, 133syl112anc 1480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑁)))
135122, 134mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁) < (𝑀 · 𝑁))
1367ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
13717adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
138 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
139 expcl 13085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑀) ∈ ℂ)
140138, 16, 139syl2anr 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑀) ∈ ℂ)
141137, 140mulcld 10266 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)) ∈ ℂ)
14225, 136, 141, 31, 46offval2 7065 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑦) − ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))))
14332, 48oveq12d 6814 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐺𝑥) → ((𝐹𝑦) − ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))) = ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
1444, 30, 142, 143fmptco 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
145144fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))))
146121, 62breqtrd 4813 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < (𝐷 + 1))
147 nn0leltp1 11643 . . . . . . . . . 10 (((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < (𝐷 + 1)))
148124, 63, 147syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) < (𝐷 + 1)))
149146, 148mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷)
150 fveq2 6333 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))))
151150breq1d 4797 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → ((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷))
152 coeq1 5417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (𝑓𝐺) = ((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺))
153152fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (deg‘(𝑓𝐺)) = (deg‘((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)))
154150oveq1d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → ((deg‘𝑓) · 𝑁) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
155153, 154eqeq12d 2786 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → ((deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁) ↔ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁)))
156151, 155imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) → (((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 → (deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁)) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))))
157 dgrco.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘ℂ)((deg‘𝑓) ≤ 𝐷 → (deg‘(𝑓𝐺)) = ((deg‘𝑓) · 𝑁)))
158156, 157, 115rspcdva 3466 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) ≤ 𝐷 → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁)))
159149, 158mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀)))) ∘ 𝐺)) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
160145, 159eqtr3d 2807 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
161160adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · (𝑦𝑀))))) · 𝑁))
162 fconstmpt 5302 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {(𝐴𝑀)}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑀))
163162a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ × {(𝐴𝑀)}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐴𝑀)))
164 eqidd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
16525, 18, 20, 163, 164offval2 7065 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
166165fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
167 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)))
1684, 30, 167, 47fmptco 6542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
169 1cnd 10262 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
170 plypow 24181 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ))
17151, 169, 16, 170syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ))
172171, 40, 42, 44plyco 24217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑀)) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
173168, 172eqeltrrd 2851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ))
174 dgrmulc 24247 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
17517, 85, 173, 174syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘((ℂ × {(𝐴𝑀)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
176166, 175eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
177176adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
178 dgrco.2 . . . . . . 7 𝑁 = (deg‘𝐺)
17966adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
180 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1811adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
182178, 179, 180, 181dgrcolem1 24249 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
183177, 182eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (𝑀 · 𝑁))
184135, 161, 1833brtr4d 4819 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) < (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
185 eqid 2771 . . . . 5 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
186 eqid 2771 . . . . 5 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
187185, 186dgradd2 24244 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) < (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
18860, 61, 184, 187syl3anc 1476 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘(𝐺𝑥)) − ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀))))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑀) · ((𝐺𝑥)↑𝑀)))))
18936, 188, 1833eqtrd 2809 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
190 0cn 10238 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
191 ffvelrn 6502 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺‘0) ∈ ℂ)
1923, 190, 191sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘0) ∈ ℂ)
1937, 192ffvelrnd 6505 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) ∈ ℂ)
194 0dgr 24221 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐺‘0)) ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = 0)
195193, 194syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = 0)
19616nn0cnd 11560 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
197196mul01d 10441 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
198195, 197eqtr4d 2808 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = (𝑀 · 0))
199198adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})) = (𝑀 · 0))
200192ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺‘0) ∈ ℂ)
201 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
202178, 201syl5eqr 2819 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘𝐺) = 0)
203 0dgrb 24222 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐺) = 0 ↔ 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)})))
2041, 203syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐺) = 0 ↔ 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)})))
205204adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 = 0) → ((deg‘𝐺) = 0 ↔ 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)})))
206202, 205mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐺 = (ℂ × {(𝐺‘0)}))
207 fconstmpt 5302 . . . . . . 7 (ℂ × {(𝐺‘0)}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺‘0))
208206, 207syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺‘0)))
20931adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
210 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐺‘0) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
211200, 208, 209, 210fmptco 6542 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐹𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺‘0))))
212 fconstmpt 5302 . . . . 5 (ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘(𝐺‘0)))
213211, 212syl6eqr 2823 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐹𝐺) = (ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))}))
214213fveq2d 6337 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (deg‘(ℂ × {(𝐹‘(𝐺‘0))})))
215201oveq2d 6812 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
216199, 214, 2153eqtr4d 2815 . 2 ((𝜑𝑁 = 0) → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
217 dgrcl 24209 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2181, 217syl 17 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
219178, 218syl5eqel 2854 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
220 elnn0 11501 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
221219, 220sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
222189, 216, 221mpjaodan 943 1 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝐺)) = (𝑀 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  ifcif 4226  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864   × cxp 5248  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  cn 11226  0cn0 11499  cexp 13067  0𝑝c0p 23656  Polycply 24160  coeffccoe 24162  degcdgr 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-0p 23657  df-ply 24164  df-coe 24166  df-dgr 24167
This theorem is referenced by:  dgrco  24251
  Copyright terms: Public domain W3C validator