Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcolem1 24074
 Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 𝑁 = (deg‘𝐺)
dgrcolem1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dgrcolem1.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dgrcolem1.4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables 𝑤 𝑑 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 1 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑1))
32mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑦 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)))
43fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))))
5 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
64, 5eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁)))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = 1 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁))))
8 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑑 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑𝑑))
98mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
109fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))))
11 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 · 𝑁) = (𝑑 · 𝑁))
1210, 11eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑦 = 𝑑 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)))
1312imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = 𝑑 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁))))
14 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))
1514mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))))
1615fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))))
17 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑦 = (𝑑 + 1) → (𝑦 · 𝑁) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))
1816, 17eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁)))
1918imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
20 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → ((𝐺𝑥)↑𝑦) = ((𝐺𝑥)↑𝑀))
2120mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀)))
2221fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))))
23 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → (𝑦 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
2422, 23eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁) ↔ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁)))
2524imbi2d 329 . . 3 (𝑦 = 𝑀 → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑦))) = (𝑦 · 𝑁)) ↔ (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))))
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
27 plyf 23999 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2928ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
3029exp1d 13043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑1) = (𝐺𝑥))
3130mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
3228feqmptd 6288 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
3331, 32eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1)) = 𝐺)
3433fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (deg‘𝐺))
35 dgrcolem1.1 . . . . 5 𝑁 = (deg‘𝐺)
3634, 35syl6eqr 2703 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = 𝑁)
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3837nncnd 11074 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3938mulid2d 10096 . . . 4 (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4036, 39eqtr4d 2688 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑1))) = (1 · 𝑁))
4129adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
42 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
4541, 44expp1d 13049 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)) = (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥)))
4645mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥))))
47 cnex 10055 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
49 ovexd 6720 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑥)↑𝑑) ∈ V)
50 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
5132adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐺𝑥)))
5248, 49, 41, 50, 51offval2 6956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑥)↑𝑑) · (𝐺𝑥))))
5346, 52eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺))
5453fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)))
5554adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)))
56 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℂ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℂ)
58 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
5938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6057, 58, 59adddird 10103 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
6159mulid2d 10096 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
6360, 62eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
6463adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
65 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)))
66 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦𝑑) = ((𝐺𝑥)↑𝑑))
6741, 51, 65, 66fmptco 6436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
68 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ℂ ⊆ ℂ)
70 plypow 24006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
7169, 58, 43, 70syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
72 plyssc 24001 . . . . . . . . . . . . . 14 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
7326adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7472, 73sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
75 addcl 10056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ ℂ)
77 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℂ)
7971, 74, 76, 78plyco 24042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑑)) ∘ 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
8067, 79eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ))
82 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁))
83 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ)
8437adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8583, 84nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 · 𝑁) ∈ ℕ)
8685nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → (𝑑 · 𝑁) ≠ 0)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑑 · 𝑁) ≠ 0)
8882, 87eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) ≠ 0)
89 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = 0𝑝 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (deg‘0𝑝))
90 dgr0 24063 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘0𝑝) = 0
9189, 90syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) = 0𝑝 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = 0)
9291necon3i 2855 . . . . . . . . . . 11 ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) ≠ 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝)
9474adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
9537nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
96 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
9796, 90syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
9835, 97syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 = 0𝑝𝑁 = 0)
9998necon3i 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
10095, 99syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
102101adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
103 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)))
104103, 35dgrmul 24071 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁))
10581, 93, 94, 102, 104syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁))
106 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
107106adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) + 𝑁) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
108105, 107eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((𝑑 · 𝑁) + 𝑁))
10964, 108eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → ((𝑑 + 1) · 𝑁) = (deg‘((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑)) ∘𝑓 · 𝐺)))
11055, 109eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑑 ∈ ℕ) ∧ (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))
111110ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑑 ∈ ℕ) → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁)))
112111expcom 450 . . . 4 (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ((deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁) → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
113112a2d 29 . . 3 (𝑑 ∈ ℕ → ((𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑑))) = (𝑑 · 𝑁)) → (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑(𝑑 + 1)))) = ((𝑑 + 1) · 𝑁))))
1147, 13, 19, 25, 40, 113nnind 11076 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁)))
1151, 114mpcom 38 1 (𝜑 → (deg‘(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑥)↑𝑀))) = (𝑀 · 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   ↦ cmpt 4762   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ↑cexp 12900  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  degcdgr 23988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24075
 Copyright terms: Public domain W3C validator