Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcl 24208
 Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
21dgrval 24203 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup(((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3 nn0ssre 11497 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
4 ltso 10319 . . . . 5 < Or ℝ
5 soss 5188 . . . . 5 (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
63, 4, 5mp2 9 . . . 4 < Or ℕ0
76a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
8 0zd 11590 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9 cnvimass 5626 . . . . 5 ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom (coeff‘𝐹)
101coef 24205 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11 fdm 6191 . . . . . 6 ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom (coeff‘𝐹) = ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → dom (coeff‘𝐹) = ℕ0)
139, 12syl5sseq 3800 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
141dgrlem 24204 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛))
1514simprd 477 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛)
16 nn0uz 11923 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
1716uzsupss 11982 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
188, 13, 15, 17syl3anc 1475 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
197, 18supcl 8519 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → sup(((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
202, 19eqeltrd 2849 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3718   ∪ cun 3719   ⊆ wss 3721  {csn 4314   class class class wbr 4784   Or wor 5169  ◡ccnv 5248  dom cdm 5249   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  supcsup 8501  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℕ0cn0 11493  ℤcz 11578  Polycply 24159  coeffccoe 24161  degcdgr 24162 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-0p 23656  df-ply 24163  df-coe 24165  df-dgr 24166 This theorem is referenced by:  dgrub  24209  dgrub2  24210  dgrlb  24211  coeidlem  24212  plyco  24216  dgreq  24219  0dgr  24220  dgrnznn  24222  coefv0  24223  coeaddlem  24224  coemullem  24225  coemulhi  24229  dgreq0  24240  dgrlt  24241  dgradd2  24243  dgrmul  24245  dgrmulc  24246  dgrcolem2  24249  dgrco  24250  plycj  24252  coecj  24253  plymul0or  24255  dvply2g  24259  plydivlem3  24269  plydivlem4  24270  plydivex  24271  plydiveu  24272  plyrem  24279  fta1lem  24281  fta1  24282  quotcan  24283  vieta1lem1  24284  vieta1lem2  24285  elqaalem2  24294  elqaalem3  24295  aareccl  24300  aannenlem1  24302  aannenlem2  24303  aalioulem1  24306  aaliou2  24314  taylply2  24341  signsplypnf  30961  signsply0  30962  dgraa0p  38238  mpaaeu  38239  elaa2lem  40961  etransclem46  41008  etransclem47  41009  etransclem48  41010
 Copyright terms: Public domain W3C validator