Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraalem 38032
Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraalem (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dgraalem
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgraaval 38031 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
3 nnuz 11761 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3670 . . . 4 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1)
5 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
65biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
76ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
8 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏𝐴) = 0)
10 dgrnznn 24048 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑏𝐴) = 0)) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
117, 8, 9, 10syl12anc 1364 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
12 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)
149, 13jctil 559 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0))
15 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (deg‘𝑏) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏)))
1615anbi1d 741 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (deg‘𝑏) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
17 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑏 → (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏))
1817eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 → ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)))
19 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑏 → (𝑝𝐴) = (𝑏𝐴))
2019eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 → ((𝑝𝐴) = 0 ↔ (𝑏𝐴) = 0))
2118, 20anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑏 → (((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0)))
2216, 21rspc2ev 3355 . . . . . . . . 9 (((deg‘𝑏) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2311, 12, 14, 22syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2423ex 449 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
2524rexlimiva 3057 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
2625impcom 445 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
27 elqaa 24122 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0))
28 rabn0 3991 . . . . 5 ({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2926, 27, 283imtr4i 281 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅)
30 infssuzcl 11810 . . . 4 (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
314, 29, 30sylancr 696 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
321, 31eqeltrd 2730 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
33 eqeq2 2662 . . . . 5 (𝑎 = (degAA𝐴) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (degAA𝐴)))
3433anbi1d 741 . . . 4 (𝑎 = (degAA𝐴) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3534rexbidv 3081 . . 3 (𝑎 = (degAA𝐴) → (∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3635elrab 3396 . 2 ((degAA𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ↔ ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3732, 36sylib 208 1 (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cfv 5926  infcinf 8388  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cn 11058  cuz 11725  cq 11826  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  degcdgr 23988  𝔸caa 24114  degAAcdgraa 38027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-aa 24115  df-dgraa 38029
This theorem is referenced by:  dgraacl  38033  mpaaeu  38037
  Copyright terms: Public domain W3C validator