Theorem dgr0 24237

Description: The degree of the zero polynomial is zero. Note: this differs from some other definitions of the degree of the zero polynomial, such as -1, -∞ or undefined. But it is convenient for us to define it this way, so that we have dgrcl 24208, dgreq0 24240 and coeid 24213 without having to special-case zero, although plydivalg 24273 is a little more complicated as a result. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgr0	⊢ (deg‘0𝑝) = 0

Proof of Theorem dgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 23656	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq2i 6356	. 2 ⊢ (deg‘0𝑝) = (deg‘(ℂ × {0}))
3		0cn 10244	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		0dgr 24220	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {0})) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (deg‘(ℂ × {0})) = 0
6	2, 5	eqtri 2782	1 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321   × cxp 5264  ‘cfv 6049  ℂcc 10146  0cc0 10148  0_𝑝c0p 23655  degcdgr 24162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-0p 23656  df-ply 24163  df-coe 24165  df-dgr 24166

This theorem is referenced by:  dgreq0  24240  dgrlt  24241  dgradd2  24243  dgrmulc  24246  dgrcolem1  24248  dgrcolem2  24249  plyrem  24279  facth  24280  fta1lem  24281  vieta1lem1  24284  vieta1lem2  24285  vieta1  24286  aalioulem2  24307  ftalem2  25020  ftalem4  25022  ftalem5  25023  basellem4  25030  basellem5  25031  dgrsub2  38225  mncn0  38229  aaitgo  38252