Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2v 40594
 Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2v.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2v.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
dfxlim2v.3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2v (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2v
StepHypRef Expression
1 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*𝐴)
2 dfxlim2v.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 dfxlim2v.2 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 dfxlim2v.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
65adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
83, 4, 6, 7xlimclim2 40587 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
98adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
101, 9mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹𝐴)
11103mix1d 1421 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
12 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
13 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*𝐴)
14 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
1513, 14breqtrd 4830 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
1615adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹~~>*-∞)
17 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑘𝐹
1817, 2, 4, 5xlimmnf 40588 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
1918ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2016, 19mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
21 3mix2 1416 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
2212, 20, 21syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
2322adantlr 753 . . . 4 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
24 simpll 807 . . . . 5 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝜑𝐹~~>*𝐴))
25 xlimcl 40569 . . . . . . 7 (𝐹~~>*𝐴𝐴 ∈ ℝ*)
2625ad3antlr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
28 neqne 2940 . . . . . . 7 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
2928adantl 473 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
3026, 27, 29xrnmnfpnf 39773 . . . . 5 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = +∞)
31 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
32 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*𝐴)
33 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐹~~>*𝐴𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
3432, 33breqtrd 4830 . . . . . . . 8 ((𝐹~~>*𝐴𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
3534adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐹~~>*+∞)
3617, 2, 4, 5xlimpnf 40589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3736ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3835, 37mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
39 3mix3 1417 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
4031, 38, 39syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
4124, 30, 40syl2anc 696 . . . 4 ((((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
4223, 41pm2.61dan 867 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
4311, 42pm2.61dan 867 . 2 ((𝜑𝐹~~>*𝐴) → (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
442adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
455adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
46 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹𝐴)
4744, 4, 45, 46climxlim2 40593 . . 3 ((𝜑𝐹𝐴) → 𝐹~~>*𝐴)
4818biimpar 503 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
4948adantrl 754 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*-∞)
50 simprl 811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐴 = -∞)
5149, 50breqtrrd 4832 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)) → 𝐹~~>*𝐴)
5236biimpar 503 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)) → 𝐹~~>*+∞)
5352adantrl 754 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))) → 𝐹~~>*+∞)
54 simprl 811 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))) → 𝐴 = +∞)
5553, 54breqtrrd 4832 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))) → 𝐹~~>*𝐴)
5647, 51, 553jaodan 1543 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))) → 𝐹~~>*𝐴)
5743, 56impbida 913 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  ℝcr 10147  +∞cpnf 10283  -∞cmnf 10284  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899   ⇝ cli 14434  ~~>*clsxlim 40565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-ordt 16383  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-lm 21255  df-xms 22346  df-ms 22347  df-xlim 40566 This theorem is referenced by:  dfxlim2  40595
 Copyright terms: Public domain W3C validator